無窮可分性與李維-辛欽公式

把一個律拆成 n 個相同的片段

先從一個聽起來近乎幼稚、卻原來能組織起一整套理論的問題開始。給定一個分布 mu，我能否把律為 mu 的隨機變數 X 寫成 n 個獨立同分布片段之和 X = Y_1 + ... + Y_n——而且對「每一個」n 都能同時做到？凡是恆能如此的律，就稱為 無窮可分（infinitely divisible）。高斯分布立刻通過：方差為 sigma^2 的常態，是 n 個各自方差為 sigma^2/n 的獨立常態之和。卜瓦松也通過：Poisson(lambda) 是 n 個獨立 Poisson(lambda/n) 之和。任何伽瑪律與柯西律亦然。但均勻分布、或單次擲幣這類有界隨機變數則失敗——你無法把一次擲幣切成獨立而相同的兩半。

檢驗可分性最乾淨的場所是特徵函數 phi(t) = E[e^(i t X)]，因為獨立性把律的卷積化為特徵函數的「乘積」。把 X 寫成 n 個獨立同分布片段之和，恰恰等於說 phi 是某個 n 次冪：對某個特徵函數 phi_n 有 phi(t) = (phi_n(t))^n，而這必須對每一個 n 都成立。所以無窮可分性是說：對所有 n，phi 都有一個本身也是特徵函數的 n 次方根。這單一個代數要求出奇地剛硬，而釐清它的後果便是整場遊戲的核心。

從中央極限問題到一個新的極限類

除了好奇之外，我們為何要在意這個類？因為它「恰好」是一個推廣中央極限問題中所有可能極限的類。回想普通的中央極限定理：有限方差的獨立同分布變數之和，經中心化並以 sqrt(n) 標度後，收斂到高斯。現在把設定放鬆為三角陣列——第 n 列有自己的列變數 X_{n,1}, ..., X_{n,k_n}，列內獨立，且每一個個別可忽略（即「一致漸近可忽略性」條件，意指沒有單一被加項佔主導）。一般中央極限問題的基本定理說：這類列和所有可能的非退化弱極限，「恰恰」就是無窮可分律——不多也不少。

這正是無窮可分性值得擁有專屬公式的結構性理由。高斯是當陣列具有限方差且林德伯格條件成立時所得到的特殊極限；卜瓦松是稀有事件律的極限，亦即一個由微小白努利構成的三角陣列。兩者都無窮可分，而針對重尾的推廣中央極限定理則產生穩定律，後者同樣無窮可分。因此一份無窮可分律的清單，將同時容納高斯世界、卜瓦松世界與重尾穩定世界。李維-辛欽公式就是這份清單。

李維-辛欽公式

一口氣陳述定理。R 上的機率律 mu 無窮可分，當且僅當 其特徵函數可寫成 phi(t) = e^(psi(t))，其中 特徵指數（characteristic exponent） psi 具有形式 psi(t) = i b t - (1/2) sigma^2 t^2 + 在 R 上對 ( e^(i t x) - 1 - i t x 1_{|x| < 1} ) nu(dx) 的積分。此處 b in R 為漂移，sigma^2 >= 0 為高斯方差，nu 為 R\{0} 上的測度——即李維測度——滿足單一積分條件對 min(1, x^2) nu(dx) 的積分 < infinity。三元組 (b, sigma^2, nu) 由 mu 唯一決定，反過來每個這樣的三元組都給出一個無窮可分律。這就是李維-辛欽公式。

把這三塊讀作三種物理機制。i b t 一項是 確定性漂移——一個常速度。-(1/2) sigma^2 t^2 一項是一個高斯的特徵指數，亦即連續的「擴散」部分。那個積分才是真正嶄新的對象：它把無窮多個獨立的跳躍疊加起來，其中 nu(dx) 是大小落在 x 附近的跳躍之發生率（一旦我們把它變成一個過程，便是每單位時間的率）。特徵指數 psi 在卷積之下具有可加性，恰恰因為乘積的對數是和，這也是為何無窮可分律的對數能如此乾淨地拆成漂移 + 高斯 + 跳躍。

為何每一塊都必須長成這樣

看清這三塊從何而來的最乾淨方法，是從容易的方向著手、親手構造出無窮可分律，再論證沒有別的可能出現。建構的基石是漂移、高斯，以及複合卜瓦松機制；把它們疊加並對小跳躍取一個小心的極限，所得便是這條公式。走一遍這個構造，會讓那個積分條件感覺是必然、而非外加的。

複合卜瓦松是無窮可分的。 固定一個有限的跳躍測度 nu（總質量有限）。複合卜瓦松律——卜瓦松多次、從 nu/nu(R) 抽取的獨立同分布跳躍——具有指數對 (e^(i t x) - 1) nu(dx) 的積分。它無窮可分，因為把卜瓦松率分成 n 個相等部分，便把律分成 n 個獨立同分布片段。這單一基石已產生所有「有限活躍度」的跳躍律。
與漂移及高斯疊加。 獨立的無窮可分片段把特徵函數相乘，因而把指數相「加」。於是漂移 i b t、高斯 -(1/2) sigma^2 t^2、以及一個複合卜瓦松指數，結合成 i b t - (1/2) sigma^2 t^2 + 對 (e^(i t x) - 1) nu(dx) 的積分。R 上每個有限活躍度的無窮可分律恰好具有這個形狀。
讓小跳躍激增——但要補償。 容許 nu 在 0 附近有無窮質量。無窮多微小跳躍的原始和不一定收斂，於是減去它們的平均：對小的 x，把 e^(i t x) - 1 替換為 e^(i t x) - 1 - i t x。補償項 i t x 是把小跳躍和變成一個收斂的、類鞅極限的中心化，而 0 附近的對 x^2 nu(dx) 的積分 < infinity，恰是讓它行得通的 L^2 控制。
逆向：別無他物。 從任意無窮可分的 phi 出發，取其連續對數 psi（對這類律而言 phi 永不為零，故可行），並把 psi 分析為其 n 次方根之指數的極限。對逼近的跳躍測度施行緊性論證，可萃取出一個極限的 (b, sigma^2, nu)，並證明 psi 必具所述形式。唯一性接著由特徵函數的唯一性而得。

讀懂公式：例子與通往過程的橋樑

三元組 (b, sigma^2, nu) 是你能對每個古典律讀出的一組旋鈕。高斯： nu = 0，只有 sigma^2 存活——純擴散、無跳躍。Poisson(lambda)： sigma^2 = 0，nu = lambda 乘以位於 1 處的點質量——單一跳躍大小、有限率。伽瑪： sigma^2 = 0，在 x > 0 上 nu(dx) = (c/x) e^(-x/theta) dx——無窮多次小的正跳躍，無窮活躍度但有限變差。alpha-穩定（0 < alpha < 2）：sigma^2 = 0，nu(dx) 正比於 |x|^(-1-alpha) dx——一個無標度的跳躍冪律，這正是為何這些律在 alpha < 2 時有無窮方差、甚至在 alpha <= 1 時連平均都無窮。

Levy-Khintchine exponent  psi(t) = log E[e^{i t X}]:

  psi(t) = i b t  -  (1/2) sigma^2 t^2
           + INT_{R\{0}} ( e^{i t x} - 1 - i t x * 1{|x|<1} ) nu(dx)

  with   INT min(1, x^2) nu(dx) < infinity      (Levy measure)

  triple (b, sigma^2, nu):   drift / Gaussian / jumps

  Gaussian   :  nu = 0
  Poisson(L) :  sigma^2 = 0,  nu = L * delta_1
  alpha-stable: sigma^2 = 0,  nu(dx) ~ |x|^{-1-alpha} dx

特徵指數與三元組，附三種讀法。

為何要透過指數 psi、而非 phi 來表述一切？因為 psi 是「可加的」，而可加性正是一個隨機過程的種子。若我們把過程定義為：時刻 t 的特徵函數等於 e^(t psi)——亦即時刻 t 的律具有特徵函數 e^(t psi)——那麼互不相交時間區間上的增量便是獨立且平穩的，這正是李維過程的標誌。下一篇導引將正是構造這個過程，並說明其路徑是 càdlàg（右連續且有左極限），跳躍直接來自 nu。時刻 1 之律的無窮可分性，恰恰是讓該律能「連續地散佈於時間之上」的條件，故每個無窮可分律都對應存在一個李維過程，且唯有它們如此。