相異實特徵值與直線解

從配方走向一幅圖

上一篇指南交給你一套能用的配方：對一個線性方程組 x' = A x，你猜 x = v e^(lambda t)，這個猜測塌縮成特徵值問題 A v = lambda v，而每一對特徵對 (lambda, v) 給出一個解。本篇指南放大檢視最友善的情形——當 A 有兩個相異實特徵值時——並問一個不同的問題。不是「公式是什麼？」，而是「答案作為平面上的運動，究竟長什麼樣子？」這正是從「求解」躍向「看見」的一步。

用一個具體的 2×2 例子佈置場景，好讓討論有東西可以指：x' = A x，其中 A = [3, 0; 0, -1]。直接從矩陣讀出，A v = lambda v 的解是 lambda1 = 3 配特徵向量 v1 = (1, 0)，以及 lambda2 = -1 配特徵向量 v2 = (0, 1)。兩個不同的實數，兩個方向。配方產生的通解是 x(t) = C1 (1, 0) e^(3t) + C2 (0, 1) e^(-1t)。底下要講的，全是這一行代數在幾何上「意味」著什麼。

為什麼特徵向量把解困在一條線上

讓一條軌跡恰好從一個特徵向量上出發——比如在某個純量 c 下從點 x(0) = c v1 開始。那麼解就是 x(t) = c v1 e^(lambda1 t)。仔細看：在每一個瞬間，位置都是某個數 c e^(lambda1 t) 乘上「固定」向量 v1。那個數隨時間改變，但方向永遠不變。於是這個移動的點永遠停留在由 v1 張成、過原點的那條直線上——它只能沿著那條射線進退滑動，絕不會偏離。那條被困住的軌跡，就是一條直線解。

原因恰恰就是特徵向量條件 A v = lambda v。系統的速度場是 x' = A x，所以在點 x = c v1 處，速度是 A(c v1) = c (A v1) = c lambda1 v1——一個沿著 v1 自身指的向量。流在那裡的箭頭與直線平行，於是它把點筆直地沿射線推動，從不橫向偏。一個特徵向量方向，正是矩陣「不」加以旋轉的方向；這就是它在整個流之下保持不變的原因。

接著由特徵值的正負號決定點往哪一邊滑。若 lambda > 0，e^(lambda t) 增長，於是軌跡沿射線「往外」衝、遠離原點——這條線是不穩定的。若 lambda < 0，e^(lambda t) 衰減，於是軌跡「往內」朝原點爬——這條線是穩定的。在我們的例子裡，v1 配 lambda1 = 3 是一條向外（不穩定）的線；v2 配 lambda2 = -1 是一條向內（穩定）的線。同樣的幾何，相反的車流方向。

兩條線成為整個平面的骨架

一條典型的軌跡不會剛好從任一特徵向量出發，所以它是一個真正的混合 x(t) = C1 v1 e^(lambda1 t) + C2 v2 e^(lambda2 t)，兩個常數都不為零。那兩條直線解仍然主宰它，因為隨著時間流逝，兩個指數以不同的速率增長，較快的那個勝出。當 t 增大時，特徵值較大的那個特徵向量佔上風；當 t 減小時，特徵值較小的那個佔上風。於是每條曲線在時間的一端與某條特徵線相切，在另一端則與另一條特徵線平行。

這正是為什麼相圖——把所有軌跡一起畫在相平面上的那幅畫廊——如此容易讀懂。先畫出兩條特徵線，依特徵值的正負號在每條上標出向內或向外的箭頭，剩下的曲線就被迫穿行在它們之間，在原點附近與遠處都緊貼著那兩條線。那兩條直線解就是骨架；其餘每一條軌跡，都是披在這副骨頭上的血肉。

同號成結點；異號成鞍點

在兩個相異實特徵值的情形下，只有兩種定性圖像，由 lambda1 與 lambda2 的正負號決定。當兩者「都」為負時，每條軌跡都向內衰減，原點是一個穩定的結點（一個匯）：所有曲線都俯衝進原點，並沿著慢特徵線（|lambda| 較小的那條）相切進入。當兩者都為正時，它是一個不穩定結點（一個源）——同樣的圖像、每個箭頭反向。慢方向總是決定切線，因為往內走時，快的那一項先死去。

當特徵值「異號」時——一正一負，正是我們的 A = [3, 0; 0, -1]——原點是一個鞍點。一條特徵線把軌跡拉進來（穩定方向，lambda2 = -1），而另一條把它們甩出去（不穩定方向，lambda1 = 3）。一條鄰近的軌跡沿著穩定線盪入、減速，接著沿著不穩定線剝離而出，描出一道類似雙曲線的掃掠——就像水流繞過一道山脊排走的形狀。只有恰好坐落在穩定特徵線上的那兩條軌跡能抵達原點；其餘每一條路徑終將逃逸。

一套可重複使用的矩陣讀法

你很少只為了分類圖像就需要完整的解。對一個 2×2 矩陣，兩個特徵值是 lambda^2 - (跡) lambda + (行列式) = 0 的根，其中跡是對角線之和、行列式就是行列式。兩個短短的數——跡與行列式——就已經釘住了情形，這正是跡-行列式平面的全部要旨：一張單一的地圖，每個線性系統在上頭都落成一個點，而那個點的位置一眼告訴你是結點、鞍點，還是（下一篇指南的）螺旋。

Two distinct real eigenvalues lambda1, lambda2  (so b^2 - 4ac > 0 for lambda^2 - T*lambda + D)

   det < 0                ->  opposite signs   ->  SADDLE  (always unstable)
   det > 0, trace < 0     ->  both negative    ->  stable NODE (sink)
   det > 0, trace > 0     ->  both positive    ->  unstable NODE (source)

   tangent rule: trajectories enter/leave tangent to the SLOW eigenline
                 (the eigenvector whose |lambda| is smaller)

跡 T 與行列式 D 不必求解就能分類相異實根情形；慢特徵向量決定原點處的切線方向。

由 lambda^2 - (跡) lambda + (行列式) = 0 求出特徵值；確認它們是實數且相異（判別式為正）。
對每個特徵值解 (A - lambda I) v = 0 求出特徵向量；這就是過原點的兩條特徵線。
為每條線標上箭頭：若其 lambda > 0 則向外，若 lambda < 0 則向內。
分類：異號得鞍點、皆負得穩定結點、皆正得不穩定結點；再把其餘曲線緊貼著兩條線描繪出來。

在繼續之前，有兩個誠實的但書。其一，這整幅乾淨的圖像需要特徵值是實數「且」相異：一對複數會旋轉，而非沿固定射線指向（下一篇指南），而一個重特徵值可能無法供給兩個獨立的特徵向量，使兩條線塌縮成一條，並要求一個廣義特徵向量（再下一篇指南）。其二，對一個「非線性」系統，這套分析只描述平衡點附近的線性化，而那幅局部圖像只有在平衡點為雙曲時——沒有任何特徵值的實部為零——才值得信賴。線性化的結點或鞍點在附近是可靠的嚮導；臨界邊緣的情形則不然。