Heaviside 階梯函數與把力打開

中途才打開的輸入

你帶著一台能用的機器走進本節。給定一個初值問題，你用 L{y'} = sY - y(0) 把它變換，解出代數中的 Y(s)，再用變換表跑主算法回家。到目前為止，右邊的每個強迫函數都是一條對所有時間都成立的整齊公式——一個常數、一個 e^(a t)、一個正弦。但真正讓拉普拉斯變換值回票價的輸入，卻是那些粗糙的：在 t = 2 被撥動的開關、接上又拔掉的電池、忽然放到樑上的一個穩定重物。

這類輸入是分段描述的：某個時刻之前為零，之後才有東西。我們稱之為分段強迫函數，而那套對付非齊次方程的猜測比對舊配方，遇到它們便卡住了，因為右邊不是單一公式。誠實的第一反應，是在每段區間上分別解方程，再費勁地把各段解黏合起來，讓 y 與 y' 在每個切換瞬間都對齊。這行得通，但既繁瑣又易錯。拉普拉斯方法提供了更乾淨的東西：一種把整個開關式輸入寫成單一運算式、一次跑完機器的辦法。

最乾淨的一個開關

整個把戲倚靠一個基本函數。Heaviside 階梯函數，記作 u(t) 或有時記作 H(t)，在 t < 0 時為 0、在 t >= 0 時為 1。想像一個電燈開關：先關後開，撥動發生在 t = 0。要把撥動移到較晚的時刻 a，你只需平移自變數：Heaviside 階梯函數 u(t - a) 在 t 抵達 a 之前為 0，之後跳到 1 並維持不變。這一個物件就是你的「開關」，而你只要選定 a，便能把它放在時間軸上的任何位置。

現在來做乘法。若 g(t) 是某個訊號，而你希望它只從時刻 a 起出現，就寫 u(t - a) * g(t)：在 a 之前階梯為 0，把乘積抹掉；在 a 之後階梯為 1，讓 g 原封不動地通過。乘上一個階梯，正是把一個力打開這個動作本身。把兩個階梯相減，你便切出一扇窗——u(t - a) - u(t - b) 只在 a 與 b 之間為 1，這是一個在 a 打開、又在 b 關閉的輸入。有了這些積木，任何你能用言語描述的開關式輸入，現在都能寫成一條公式。

u(t)        = 0 for t < 0,   1 for t >= 0       (the on-switch at 0)
u(t - a)    = 0 for t < a,   1 for t >= a       (on-switch at time a)

u(t - a) g(t)            ->  g switched ON at t = a
u(t - a) - u(t - b)      ->  a window: ON at a, OFF at b   (a < b)

L{ u(t - a) } = e^(-a s) / s          (a >= 0)

階梯函數、它的時間平移、由它組裝開關式輸入的兩種方式，以及一個延遲階梯的變換——留意延遲所產生的 e^(-a s) 因子。

t 中的延遲化為 s 中的因子

接下來這條法則讓上述一切開花結果，它也是本篇的核心。設你已知 g(t) 的變換是 G(s)。那麼同一個訊號被延遲、並在時刻 a 打開——也就是 u(t - a) * g(t - a)——它的變換是什麼？答案就是第二平移定理：L{ u(t - a) g(t - a) } = e^(-a s) * G(s)。在時域中延遲 a，到了 s 域裡，不過就是乘上 e^(-a s) 而已。把訊號往後挪一段時間，代價恰好是一個指數因子——不必新的積分，也不必新的表中條目。

值得體會 e^(-a s) 為何出現，因為這絕非巧合。變換是把 e^(-s t) 對你的訊號從 0 起積分。一個直到 a 才出聲、然後才運行的訊號，在積分底下，就是原訊號把時鐘往前推了 a。做變數代換把時鐘重新對齊，會從積分裡直接提出一個常數 e^(-s a)，留下原本的 G(s)。延遲與那個指數，是同一個平移的兩張臉；一旦看清這點，這條法則便不再是要死背的東西，而成了你隨時能自行重新推導的結果。

把一個開關式問題帶去又帶回

現在各部分扣合在一起。要解一個帶分段輸入的 ODE，你先用 Heaviside 階梯把右邊寫成一條乾淨的公式，把整條方程變換，再像先前那樣解出 Y(s)。唯一的新特徵，是 Y(s) 現在帶著一個或數個 e^(-a s) 因子隨行——那是各個切換時刻在代數上留下的指紋。你做 s 域的代數時暫且不理那些因子，把每個 e^(-a s) * (某式) 看作一份延遲的副本，留到最後再處理。

用 Heaviside 階梯把分段輸入改寫成一條公式，例如一個在 a 與 b 之間開啟的力，化為 [u(t - a) - u(t - b)] 乘上其強度。
把整條 ODE 變換；每個延遲項貢獻一個 e^(-a s) 因子乘上一個尋常的變換。
用代數解出 Y(s)，讓那些 e^(-a s) 因子原封不動地隨行。
用變換表反變換每一塊；凡是前面坐著 e^(-a s) 之處，反變換便冠上一個 u(t - a)，而其中每個 t 都平移為 (t - a)。

最後那一步，正是把第二平移定理反過來讀，而答案就在那裡重新組裝成各段。解直接以開關式呈現——一個基礎響應，加上一個恰在每個 a 處打開的延遲修正項——無需手動黏合區間，也無需親手對齊 y 與 y'。在逐區間做法裡讓你費盡心力的連續性，這裡自動內建，因為一切都是穿過同一條線性流水線帶過來的。你可以拿結果對照變換表、也對照常識做抽查：在第一個切換時刻之前，所有延遲項皆為零，所以早期的解應當與未開關的問題相符。

它的用武之地，以及一個誠實的提醒

這並非紙上練習。它最乾淨的用武之地是開關電路：在 t = 0 把電池接上一個 RLC 迴路、在 t = 5 拔掉，那麼驅動電壓恰好就是一個開窗的階梯。同一幅圖景也描述著恆溫器把熱忽開忽關、馬達被一個方波脈衝所命令，或是一個結構先加載後卸載。在每種情形裡，你研究的都是一個輸入—輸出系統，其輸入是一串開關，而階梯函數正是寫下那輸入的天然字母表。