扛起所有工作的那條法則
第一篇許下了承諾，第二篇在它周圍備好了表；現在我們要見到那個讓拉普拉斯變換值得學的單一事實。它就是導數的變換：若 Y(s) 是 y(t) 的變換，則 L{y'} = s * Y(s) - y(0)。把它讀成一筆交易。左邊是一個導數——一個微積分運算。右邊則完全沒有導數：只剩下乘以 s，再減去一個數，也就是起始值 y(0)。此岸的難事，到了彼岸成了易事。
有兩件事值得再看一眼。第一，求導已變成乘以 s——這正是「微積分變代數」整個承諾，在一行裡化為具體。第二，也是讓本方法與眾不同的部分，數字 y(0) 不請自來。你並沒有把它硬接上去；是法則本身伸進你的問題、抓出了那個初值。這就是人們說拉普拉斯方法把初始條件內建其中的意思——它們從第一步起就騎在代數裡頭跑，而非在終點等候。
y(0) 是從哪冒出來的
這條法則不是咒語——它由一次分部積分掉出來，看過一次便能永遠記牢。依定義，L{y'} 是從 0 到無窮對 e^(-s t) * y'(t) dt 的積分。分部積分把導數從 y 身上挪到權重 e^(-s t) 上：你對 e^(-s t) 求導（產生一個因子 -s），對 y' 積分。掉出來的是一個邊界項 [e^(-s t) * y(t)]，由 0 取到無窮，加上 s 乘以 e^(-s t) * y(t) 的積分——而那個剩下的積分，恰恰就是 s * Y(s)。
現在計算那個邊界項，看著初始條件浮現。在上端，t 趨於無窮，權重 e^(-s t) 把 y(t) 壓成零——這正是指數階假設發揮作用之處，因為它保證 y 跑不贏那個衰減指數。在下端，t = 0，權重是 e^(0) = 1，所以該項就是 y(0)。於是邊界項為 0 - y(0) = -y(0)。把各塊拼起來：L{y'} = -y(0) + s*Y(s)。法則就在那兒，誕生自一次老實的計算，而 y(0) 是作為一道積分的下限抵達的。
爬向更高階的導數
一個二階 ODE 需要 y'' 的變換，而你只要把一階導數法則用兩次便能得到——沒有新點子，就是同一招自我接力。把 y'' 想成函數 (y') 的導數。法則說 L{(y')'} = s * L{y'} - y'(0)。現在把你早已知道的 L{y'}，也就是 s*Y - y(0)，代進去並展開。結果是 L{y''} = s^2 * Y - s * y(0) - y'(0)。注意正在成形的規律：導數的階數對應一個 s 的冪次，每升一階就剝下一個初值——這回是 y(0) 與 y'(0) 兩個。
L{y'} = s*Y - y(0)
L{y''} = s^2*Y - s*y(0) - y'(0)
L{y'''} = s^3*Y - s^2*y(0) - s*y'(0) - y''(0)
General:
L{y^(n)} = s^n*Y - s^(n-1)*y(0) - s^(n-2)*y'(0) - ... - y^(n-1)(0)
Mnemonic: powers of s count DOWN from n-1 ;
initial values count UP from y(0) to y^(n-1)(0).一般公式 L{y^(n)} = s^n * Y - s^(n-1) * y(0) - ... - y^(n-1)(0)，值得當作記帳來讀，而非死背。一個 n 階初值問題需要恰好 n 個初值——從 y(0) 到 y^(n-1)(0)——才有唯一確定的答案，而這條公式正好消耗那 n 個數，不多也不少。這並非巧合；那是同一個數目在兩邊同時現身。變換在悄悄地把方程所有的自由度都記了帳。
把一整條方程變成代數
這裡就是法則在做它真正的工作。取一個具體的 IVP：y'' + 3 y' + 2 y = 0，配 y(0) = 1 與 y'(0) = 0。把每一項都變換，倚靠你在第一篇見過的線性，便能逐項進行。y'' 變成 s^2 Y - s*y(0) - y'(0)；3 y' 變成 3(sY - y(0))；2 y 變成 2Y；右邊的零保持為零。所有導數都消失了，由 s 的冪次以及已知的數字 y(0)、y'(0) 取而代之。
代入真正的數值 y(0) = 1、y'(0) = 0 並整理。變換後的方程成為 (s^2 + 3s + 2) Y - (s + 3) = 0，這是一個只含單一未知量 Y 的普通代數方程。沒有導數，沒有積分——只是一個你靠移項就能解的線性方程：Y = (s + 3) / (s^2 + 3s + 2)。微分方程已被完全搬進代數裡，連同初始條件一併。那個括號 s^2 + 3s + 2，令人滿意地，正是你若用猜 y = e^(rt) 也會寫下的同一個特徵多項式——兩種方法是從兩側看著同一個結構。
鏡像法則，以及該小心之處
有一條值得認識的搭檔法則，因為在物理裡積分出現得和求導一樣頻繁。積分的變換是導數法則的鏡像：求導是乘以 s，積分則是除以 s。具體地說，y 從 0 到 t 的累積積分，其變換等於 Y(s)/s。這份對稱並非偶然——積分與求導在 t 裡是互逆運算，所以它們在 s 域裡成了乘以 s 與除以 s。電荷在電容上累積、距離由速度堆疊而成：除以 s，正是 s 域說「累積」的方式。
在你盲目信任導數法則之前，有兩個誠實的提醒。第一，它是單邊變換：積分從 0 起步，所以一切都錨定在時間零之後的行為，而它所帶的 y(0) 是那道左緣上的值——另一端沒有對稱的項，因為上限會衰減消失。第二，這條法則假定 y 在各跳躍之間是普通意義下可微的；若 y 本身在某個內部時刻跳躍，赤裸的公式會在那裡漏掉一項貢獻，而那種情形你要用後續一篇的階梯函數機制去處理，而非用這條光禿的法則。
退一步，看清你如今握有什麼。一條短法則 L{y'} = sY - y(0)，同時消滅導數並餵入初始資料，而它的高階階梯對你會遇到的任何階數做著同樣的事。把它施加到一條方程上，整個 IVP 便坍縮成 Y(s) 的代數——這正是主算法的核心。你已經搭好了那四步計畫的第一、二步。剩下的是回程：拆開 Y(s) 並把 y(t) 讀回來，而下一篇會把這完整地交到你手上。