一般情形的參數變異法

為何快捷方法會用罄

走到本節的這一步，你已能求解許多右邊帶強迫項的 n 階線性方程。認出強迫項的型態，寫下帶未知係數的試解——或更系統地，拿一個能殺掉強迫項的消去算子作用於整條方程——一個特解便應聲落下。這些方法快，又幾近機械化，這正是它們迷人之處。但留意每個例子下方的那行小字：強迫項總是多項式、指數 e^(rx)、正弦或餘弦，或這些東西的乘積。

這並非偶然——這就是整個限制所在。消去算子法只對那些*本身就是*某個常係數齊次方程之解的強迫項有效，因為唯有它們才存在能使其歸零的算子。於是 sec(x)、tan(x)、ln(x)、1/x 或 x^x 根本沒有消去算子：沒有任何有限的 D 的多項式能把它們送到零。而一旦係數隨變數變化——像 Cauchy-Euler 方程，或更狂野的東西——根本就沒有特徵多項式可言，待定係數法便無立足之地。你需要一個不在乎強迫項長相的方法。

唯一的那個想法，放大到 n 階

你在二階時已見過參數變異法，而其核心把戲一絲未變。從齊次方程的一組基本解組 y1, y2, ..., yn 出發，其通解為 c1 y1 + ... + cn yn。常數 c1, ..., cn 是死重——無論怎麼選，解的仍是齊次問題，永遠不是受迫問題。於是讓常數變動：把每個常數 ck 換成一個未知函數 uk(x)，並尋找形如 y_p = u1 y1 + u2 y2 + ... + un yn 的特解。這與降階法出於完全相同的直覺——那裡是把單個常數提升為函數；這裡則是把全部 n 個都提升。

但如今有 n 個未知函數 u1, ..., un，而單一條方程 L[y_p] = g(x) 釘不住 n 個函數——那是 n 個選擇配上一條約束。這份自由是真切的，而本法的高明之處，正在於明智地*花掉*這份自由。當你一次又一次地對 y_p 求導時，每一階導數都會甩出一叢含 uk' 的項。參數變異法在除了最後一步以外的每一階段，都選擇讓那些叢項消失：它施加 n-1 個化簡條件，迫使 uk' 項在直到第 (n-2) 階為止的每一階導數上相互抵消。這既防止式子爆炸，又恰恰提供足夠多的額外方程使系統可解。

蹦出來的那個 Wronskian 系統

塵埃落定時，那 n-1 個抵消條件，加上唯一一條貨真價實的方程 L[y_p] = g，合併成一個關於 n 個未知量 u1', ..., un' 的清爽線性系統。而其係數矩陣並非什麼新怪物——它正是你那組基本解組的 Wronskian 矩陣：第一列是 y1...yn，接著是 y1'...yn'，一路下到底列的第 (n-1) 階導數。右邊幾乎全是零，唯有強迫項孤零零地坐在最底下。這個結構值得你凝視：當初用來檢驗你的解是否獨立的同一個 Wronskian，如今擔起了建造特解的工作。

Solve for u1', ..., un' :   [ y1      y2     ...  yn     ] [u1']   [ 0      ]
                            [ y1'     y2'    ...  yn'    ] [u2'] = [ 0      ]
                            [  :       :           :     ] [ : ]   [  :     ]
                            [ y1^(n-1) y2^(n-1) ... yn^(n-1)] [un']   [ g(x)   ]

Cramer's rule:   uk' = Wk(x) / W(x)        ( W = Wronskian determinant )
Integrate:       uk  = INT [ Wk(x) / W(x) ] dx
Assemble:        y_p = u1*y1 + u2*y2 + ... + un*yn

( Wk = W with column k replaced by the column [0, 0, ..., g(x)] )

整套方法一張卡片講完：一個 Wronskian 矩陣系統，用 Cramer 法則求解，逐項積分，再組裝起來。Wronskian 坐在每個分母裡——而它之所以不為零，正因為這些 yk 構成一組基本解組。

用 Cramer 法則求解，把這個結構漂亮地攤開：uk' = Wk(x) / W(x)，其中 W 是 Wronskian 行列式，而 Wk 是同一個行列式，只把第 k 行換成「零接著 g」的那一行。對每個 uk' 積分還原出 uk，組出 y_p，便大功告成。注意 W 住在每個分母裡——而它之所以絕不消失，正因為 y1, ..., yn 構成一組基本解組（獨立的解，其 Wronskian 不為零）。當初使它們成為良好基底的那個條件，正是使本法不致除以零的那個條件。

完整走一遍

以下是把配方提煉成步驟。前三步正是你早已熟悉的二階程序，只是寫成 n 個函數而非兩個；升到高階唯一真正的代價，是行列式變大、簿記變重。

把方程化為標準型（最高階係數為 1），並先解齊次部分：找出一組基本解組 y1, ..., yn。參數變異法是一台製造特解的機器——它假定你手上已備妥齊次解。
建立 Wronskian 矩陣系統：各列為 y 們及其直到 n-1 階的導數，右邊除最後一格放 g(x) 外全為零。
用 Cramer 法則解出 u1', ..., un'：uk' = Wk(x) / W(x)，其中 W 是 Wronskian，Wk 把第 k 行換成右端那一行。
對每個 uk' 積分得到 uk。捨去積分常數——它們只會重建出齊次解，而那部分你會另外加回去。
組出 y_p = u1 y1 + ... + un yn，再寫出完整答案 y = (c1 y1 + ... + cn yn) + y_p——齊次加特解，與以往一模一樣的結構。

一個它何以名副其實的滋味：假設你要求 y'' + y = sec(x) 的一個特解。沒有消去算子碰得了 sec(x)，於是待定係數法一出場就陣亡。但參數變異法連眼都不眨。齊次解為 y1 = cos(x)、y2 = sin(x)，其 Wronskian W = 1，故 u1' = -sin(x) sec(x) = -tan(x)、u2' = cos(x) sec(x) = 1。積分得 u1 = ln|cos(x)|、u2 = x，於是 y_p = cos(x) ln|cos(x)| + x sin(x)。那個對數與那個 x sin(x)，正是快捷方法永遠生不出來的那類答案——而它們竟出自一個 Wronskian 系統。

它的代價，以及它接著把你送往何處

對代價要看得清楚。其一，參數變異法保證一個特解*以積分形式*存在——它並不承諾那積分是初等的。公式 uk' = Wk/W 永遠正確，但 Wk/W 的積分可能根本沒有封閉形式，此時誠實的答案就是把解留作積分。這不是失敗；積分本就是定義函數的一種完全正當的方式。其二，n 階的簿記著實沉重：一個 n×n 的 Wronskian、n 個行列式 Wk、n 個積分。本法原則上永遠管用；它是否*愉快地*管用，則視方程而定。

也值得點明參數變異法*不是*什麼。如本節的一切，它完全活在線性理論之內：整個構造依靠疊加原理——依靠 y_p 是齊次解的組合——而一旦出現像 (y')^2 這樣的非線性項，便當場崩塌。它也不是齊次方程的求解器：它消耗一組基本解組，並不生產基本解組。對變係數方程，這意味著在本法甚至能開始之前，你或許仍得動用降階法、已知的特殊函數，或級數方法，才能先取得那些 yk。

有了這一篇，高階這一節便闔上一個圓滿的閉環。你能寫出 n 維解空間，從 n 次特徵多項式讀出它的基，對友善的強迫項施展微分算子與消去算子，馴服變係數的 Cauchy-Euler 情形，而如今——有了參數變異法——能處理*任何*可積的強迫項。接下來的階梯，會把這些手工方法換成新機械：Laplace 變換，它把微分化為代數，並把階躍與脈衝強迫項整個吞下；以及級數方法，用於那些根本不存在初等基本解組的方程。你正要離開封閉形式的國度，而手中握著的，是初等理論所能奉上、最強的通用工具。