從「哪個數？」到「哪個函數？」
在你至今學過的所有代數裡，方程式藏著的是一個數。解 x^2 - 5x + 6 = 0，你會找到 x = 2 或 x = 3——兩個讓陳述成立的數值。微分方程改變了獎品。如今未知的不再是一個數，而是一整個函數，方程式則是一句關於這個函數及其變化率的話。它問的不再是「找出數 x」，而是「找出斜率符合這個規律的函數 y(x)」。
最簡單的例子，你在微積分課上其實已能解一半：dy/dx = 2x。這句話是「我要找一個函數，它在每一點 x 的斜率都等於 2x」。你已知道一個這樣的函數——y = x^2，因為它的導數恰好是 2x。但 y = x^2 + 1 也是，y = x^2 - 7 也是。這一條方程的答案不是一個，而是一整族，彼此只差一個常數。這種多重性不是缺陷，而是這門學科的本質特徵；稍後我們會用一個額外條件來馴服它。
方程的解剖
每個微分方程都有兩個角色登場。其一是自變數——你可以自由調動的那個量，通常是 x（位置）或 t（時間）。其二是因變數——隨之變動的未知函數，記作 y 或 y(t)，因為它的值取決於你把自變數設在何處。把這兩個角色分清楚，是這一行的第一個習慣；整套自變數與因變數的語法都奠基於此。
當恰好只有一個自變數，因而出現的導數都是像 dy/dx 這樣的常導數時，我們稱它為常微分方程，即 ODE——也就是這整座階梯的主題。若未知函數同時依賴好幾個變數（例如溫度同時隨空間與時間變化），就會出現偏導數，得到一個偏微分方程。偏微分方程是一個更豐富也更難的世界，留待日後；在這裡，只有一個自變數是通則。
dy/dx = 2x (ODE: one variable, x) m*y'' + b*y' + k*y = 0 (ODE: y is a function of t) du/dt = c * d^2u/dx^2 (PDE: u depends on x AND t)
為何世界裡到處是微分方程
微分方程之所以無所不在，是因為大自然很少直接告訴你某個量是多少——它告訴你的是這個量正如何變化。溫度計不會宣布明天的氣溫；是物理告訴你一杯熱飲冷卻的速率。銀行不會直接遞給你明年的餘額；它給你的是利息累積的速率。每當一條自然定律或一個系統的規則，把某個量與它自身的變化率聯繫起來，你便寫下了一個微分方程，往往渾然不覺。
最著名的例子是指數增長與衰減定律，dy/dt = k y：「變化率與你擁有的量成正比」。複利滾存的金錢、一群細菌、一塊放射性岩石——全都服從這一句短話。牛頓第二定律 F = m a 其實也暗藏著一個微分方程，因為加速度 a 是位置的二階導數。常微分方程值得一整座階梯來鑽研，原因就在於這種模式——用變化率來定義一個事物——正是科學中極大一部分內容實際被寫下來的方式。
「解一個微分方程」是什麼意思？
一個 ODE 的解是這樣的函數：當你把它連同其導數代入後，方程對變數的每一個值都成為一句真陳述。關鍵在於，你不必知道一個候選函數從何而來就能檢驗它：代入、求導，看看兩邊是否相符。這個代入並確認的動作，稱為代入驗證解，它是整門學科中唯一永遠不會出錯的一步。
取 dy/dt = k y，以及提議的解 y(t) = C e^(kt)，其中 C 是任意常數。求導：y'(t) = C k e^(kt) = k * (C e^(kt)) = k y(t)。對每一個 t 與每一個 C，左邊都等於右邊——所以它確實解了這個方程。再次留意那個常數 C：正如 dy/dx = 2x，這裡有一整個單參數的解族，唯有一個額外事實（「這群細菌起初有 1000 個細胞」）才能釘住屬於你的那一個。
初窺：階數、解族，與一條被選中的曲線
已有兩個概念在地平線上探頭，將佔據接下來幾篇。其一是階數：方程的階數不過就是其中出現的最高階導數。dy/dx = 2x 是一階；彈簧方程 m y'' + b y' + k y = 0 因為那個 y'' 而是二階。階數大致衡量一個系統有多少「記憶」，並決定它的解族帶有多少常數——一階帶一個常數，二階帶兩個。
第二個概念回答了那個惱人的常數。要從無窮解族中選出一條曲線，你提供一個起始值——比方說 y(0) = 1000。一個方程配上這樣一個條件，就是初值問題，而這幾乎正是真實問題的長相：一條變化定律，加上一個已知的起點。從幾何上看，解族是一疊填滿平面、互不相交的曲線，而初值條件不過是指名你的曲線必須通過的那一個點。
這幅幾何圖像並非偶然，它讓你在解出任何東西之前就能理解一個微分方程。方程 dy/dx = f(x, y) 為平面上的每一點指派一個斜率；在每點畫一道微小的切線短劃，你便得到一片斜率場，而解就像流線一般穿行其中。階數、解族、初值問題，以及這片斜率場圖像，正是本階梯其餘各篇要展開的四個概念——你如今已在縮影中與它們一一照面。