不全差排、疊差與法蘭克-里德源

為什麼一條完整差排會一分為二

上一篇你學到,一條差排帶有一份彈性的線能量,其大小與柏格斯向量的平方成正比——單位長度的能量約為 (1/2) G b^2。這個單一事實有一個驚人的推論:晶體總是在尋找縮小 b 的辦法。若一條柏格斯向量為 b1 的差排,能分裂成兩條分別為 b2 與 b3 的差排,而且 b2^2 + b3^2 算出來比 b1^2 小,那麼這次分裂在能量上是下坡的,會自己發生。這個能量判準就是法蘭克法則(Frank's rule),也是本篇每一樁差排反應的總會計師。

看它在面心立方金屬裡上演——銅、鋁、金。在那裡,天然的滑移差排落在最密堆積的 {111} 面上,帶著最短的晶格向量 b = (a/2)[1 0 -1]。它幾乎從不以單一整體滑移,而是分裂成兩條稱為蕭克利不全差排的不全差排:(a/2)[1 0 -1] 變成 (a/6)[2 -1 -1] 加上 (a/6)[1 1 -2]。把這兩條加回去,你會分毫不差地還原出原來那條,所以什麼也沒少——但現在來對一對能量。完整向量給出 b^2 = (1/2)^2 x (1+0+1) = 1/2(以 a^2 為單位);兩條不全差排給出 2 x (1/6)^2 x (4+1+1) = 1/3。三分之一,舒舒服服地小於二分之一,所以法蘭克法則說:分裂。完整差排對於分裂成兩條不全差排是不穩定的,而在面心立方裡,它基本上總是會分。

FCC dislocation dissociation on a {111} plane
---------------------------------------------
Perfect (full) dislocation, shortest vector on the
close-packed plane:

        b = (a/2)[1 0 -1]

splits into TWO Shockley partials:

  (a/2)[1 0 -1]  ->  (a/6)[2 -1 -1]  +  (a/6)[1 1 -2]
   (full)             (leading)          (trailing)

  check:  (a/6)[2 -1 -1] + (a/6)[1 1 -2]
        =  (a/6)[3  0 -3]  =  (a/2)[1 0 -1]   OK

Frank's rule -- compare b^2 (in units of a^2):
  full      :   (1/2)^2 x (1+0+1)      = 1/2  = 0.50
  2 partials:  2 x (1/6)^2 x (4+1+1)   = 1/3  = 0.33   <-- lower

So it splits, and a RIBBON OF STACKING FAULT opens between:

  ...======|##########  fault  ##########|======...
   good fcc ^leading                      ^trailing  good fcc
   ABCABC   partial     wrong stacking    partial    ABCABC
            |<------- width d ~ 1/(SFE) ------->|

一條面心立方的完整差排,分裂成兩條蕭克利不全差排,夾住一條疊差的帶;法蘭克法則(比較 b^2)顯示這次分裂把能量降了三分之一。

疊差帶

那麼,兩條不全差排之間的那道縫裡,究竟坐著什麼?回想一個最密堆積晶體是怎麼砌起來的(來自最密堆積那一階):一模一樣的層,以 ABCABC 堆疊,每顆原子都窩在下一層的凹穴裡。一條蕭克利不全差排,並不搬動一整個原子到原子的步階;它只把一個最密堆積層,從它該待的座位滑進相鄰的凹穴——一個 A 型層落到了 B 型的位置上。於是,在領先與拖尾兩條不全差排之間,堆疊在局部是錯的:一薄片其序列讀作 ...ABCBCABC...(一個兩層、類六方最密堆積的岔子),而非完美的 ...ABCABCABC...。那片錯誤堆疊的薄片就是一個疊差,而這一對不全差排連同它們所夾住的疊差,就是疊差帶——一條擴展差排。

現在有兩股力量,為這對不全差排該離多遠而爭執。彈性上它們互斥:兩者的柏格斯向量都帶有平行的刃分量,如同同向的應變場彼此推開,放著不管的話它們會飛到無窮遠。但它們之間的疊差要付出能量——一種把帶拉合的表面張力 gamma(焦耳每平方公尺),因為每多出一平方公尺的錯誤堆疊,就添上 gamma 的能量。這條帶最終停在寬度 d 處,那裡向外的彈性排斥,恰好與疊差向內的拉力平衡,約略 d ≈ G b_p^2 / (2 pi gamma)。要帶走的那條定性定律是:帶寬與疊差能成反比。疊差便宜,帶就寬;疊差昂貴,帶就窄。

疊差能:一個決定金屬性格的數字

由於帶寬遵循 1/gamma,疊差能悄悄地操縱著金屬一整批的行為,而它的數值在不同金屬之間擺盪得很大。鋁偏高,約 150 到 200 mJ/m^2,所以它的帶窄到幾乎解析不出來——它的不全差排幾乎疊在一塊兒。銅居中,大約 45 mJ/m^2。銀、黃銅與沃斯田鐵系不鏽鋼偏低,接近 20 mJ/m^2 或更少,所以它們的帶會攤開到好幾奈米寬。這些是誠實的概略數字——確切的數值取決於合金成分、溫度,以及如何量測——但這個排序很穩健,而且事關重大。

這就是材料工程師在乎它的原因。要讓一條螺旋差排更換滑移面——也就是交滑移,那條讓金屬得以繞過障礙而流動的逃生路線——兩條不全差排必須先被擠回一個點、形成一處收縮。一條寬帶(低 gamma)讓這件事代價高昂,於是交滑移被抑制:滑移被侷限在單一平面上(平面滑移),金屬急遽地加工硬化,而形變孿晶變得容易——這正是強韌、高加工硬化的 TWIP 鋼與黃銅背後的物理。一條窄帶(高 gamma,如鋁)則讓螺旋差排自由交滑移,給出波狀的滑移線與容易發生的動態回復。單單一個數字——疊差能——你就已預言了一個金屬會不會孿晶、它如何硬化、以及它如何潛變。

替反應記帳:法蘭克法則與湯普森四面體

法蘭克法則不只用來把一條差排一分為二——它是每一樁差排反應的裁判。當兩條差排相遇、能夠反應,b1 + b2 -> b3,只要這反應降低了總 b^2,它就會發生;一旦發生,兩條線便沿著它們的交線熔接成一段新的線。有時產物是一條在原本兩個平面上都無法滑移的差排——一個不動的鎖,像面心立方裡的洛默-柯特羅鎖(Lomer-Cottrell lock)——它就杵在那裡,成為其他差排堆積抵住的一道不可動障礙。所以同一套能量記帳,既把完整差排分裂成能動的不全差排,也把它們焊成障礙;一樁反應究竟幫金屬流動、還是幫它硬化,只不過取決於哪一個 b^2 算出來更小。

要用手追蹤所有這些 {111} 面與 <110> 向量,叫人頭暈,所以晶體學家用了一張漂亮的地圖:湯普森四面體。取面心立方晶體的四個最密堆積 {111} 滑移面,它們恰好就是一個正四面體的四個面;它的六條稜,正是那六個 (a/2)<110> 的完整柏格斯向量,而從每個頂點到對面面心的連線,則是 (a/6)<112> 的蕭克利不全差排。要讀出一次分裂、或檢查兩條差排能不能反應,就化成在這個小立體上,把稜追到面心的問題。不過要說清楚它是什麼:湯普森四面體是一種記帳工具、一套命名法,而不是一塊新的物理——它只是讓法蘭克法則所評分的那些幾何,不可能再讓人迷路。

差排在何處增殖:法蘭克-里德源

還剩下一個深刻的謎。當晶體變形時,差排滑向表面、滑了出去——所以它們的數目理應下降。然而量測顯示的恰恰相反:當你加工一塊金屬,差排密度會猛竄上千倍甚至更多,從退火晶體裡每平方公尺或許穿過 10^10 條線,到重度冷加工後的 10^15 條。差排必定是在變形過程中被製造出來的。那座經典的工廠,就是法蘭克-里德源,而它的機制,想像起來美妙地簡單。

從一段兩端被釘住的差排開始——被相距 L 的兩個析出物、接點或結點牢牢固定住——只在中間這一段能夠彎弓。
施加一個剪切應力。這段線在它的滑移面上向外彎弓,像一層被推過鐵絲圈的肥皂膜,同時它自身的線張力把它往回拉。
當弓彎成半徑 L/2 的半圓時最難再推;那個峰值需要約 tau ≈ G b / L 的臨界應力。一旦推過它,這個環就變得不穩定,並持續長大。
兩條臂繞到釘扎點的後方,相遇,並且——由於在那裡符號相反——互相湮滅,掐出一個完整的封閉差排環,向外擴張而去。
原本那段線彈回它起初的形狀,然後重複——一條生產線,一個接一個地吐出差排環,只要應力還在就不停。

現在讓上千個這樣的源同時運轉,後果便層層放大。它們泵出的環在許多相交的平面上滑移,彼此橫切、拖著割階、堆成濃密的糾結——一座差排的「林」,每一條新差排都得殺出一條路穿過去。如今每一條線,都在其他所有線的應力場中移動,而流動應力隨密度的平方根攀升,tau ≈ alpha G b sqrt(rho)(泰勒關係)。這一行話就是加工硬化:把 rho 泵高,你就抬高了強度。這也是為什麼一根迴紋針被你來回折彎時會先變硬、最終折斷的最深層原因——你正在開動它的法蘭克-里德源,把晶體纏結成一塊硬鐵。