一組基把任何空間變成座標
為有限維空間 V 選一組基 B = (b_1, ..., b_n)（一組有限的 [[hamel-basis|哈梅爾基]]）。每個 v 都是唯一的線性組合 v = c_1 b_1 + ... + c_n b_n，而座標向量 [v]_B = (c_1, ..., c_n) 落在 R^n 中。映射 v -> [v]_B 就是[[coordinate-isomorphism|座標同構]]：它完美保持加法與數乘。
P_2 (degree <= 2 polynomials), basis B = (1, x, x^2): 3 - 5x + 2x^2 -> [v]_B = (3, -5, 2) in R^3 1 + x^2 -> (1, 0, 1) add the polynomials <=> add the coordinate triples (3-5x+2x^2)+(1+x^2) = 4 -5x +3x^2 ~ (3,-5,2)+(1,0,1)=(4,-5,3) P_2 'is' R^3 once you fix the basis -- different costume, same algebra.
同構：相同結構，不同標籤
若存在雙射線性變換 T: V -> W，則兩個空間 V 與 W [[isomorphism-of-spaces|同構]]（V ≅ W）。同構的空間作為向量空間是*相同*的——關於其一的每個線性代數事實在另一個裡都成立，只是元素改了名。同構是兩個結構之間的完美詞典。
- 為 V 選一組基（大小 n），為 W 選一組基（大小 m）。
- 各自給出一個座標同構：V ≅ R^n 與 W ≅ R^m。
- R^n ≅ R^m 成立當且僅當 n = m。所以 V ≅ W 當且僅當 dim V = dim W。
維數定理：一個數說盡一切
這就是本領域的大回報——[[dimension-theorem|維數定理]]：對於固定體上的有限維空間，維數是完全不變量。兩個這樣的空間同構當且僅當它們維數相同。一個自然數就完全分類了*每一個*有限維向量空間，毫無殘餘。
兩點說明讓結論更銳利。其一，體很重要：C 在自身上是 1 維空間，但在 R 上是 2 維空間——這是一個被看作向量空間的體擴張。其二，定理止步於「有限維」。像函數空間 F(R) 這樣的無限維空間，或無限集上的自由向量空間，（在選擇公理下）仍有哈梅爾基，但沒有單個整數能釘住它。然而在有限的世界裡，你現在已知全部故事：結構性地思考，每個空間在同構意義下都只是一個座標空間。