商空間：把子空間壓成零

陪集：子空間的平行副本

固定 V 的一個子空間 U。對每個向量 v，[[coset|陪集]] v + U = { v + u : u 屬於 U } 是經過 v 的 U 的平行平移。這些陪集就是平行於 U 的仿射子空間：U 本身是陪集 0 + U（過原點），其餘任何陪集是平移後、不過原點的副本。

V = R^2, U = the x-axis = { (t, 0) }.

   coset (0,0) + U  =  the x-axis itself     (y = 0)
   coset (0,3) + U  =  horizontal line y = 3
   coset (5,3) + U  =  ALSO the line y = 3   (since (5,3)-(0,3) in U)

Key fact:  v + U = w + U   <=>   v - w in U.
Each coset is labeled by its height y; the x-coordinate is forgotten.

x 軸的陪集就是水平直線——每個高度一條。

商空間：陪集成為新向量

現在是大膽的一步：宣布每個陪集為一個全新的向量。所有陪集的集合就是[[quotient-space|商空間]] V/U。通過取代表元來做加法和數乘：(v + U) + (w + U) = (v + w) + U，a(v + U) = (av) + U。V/U 的零向量就是陪集 U 本身——所以*在商空間內部，U 中的一切都被壓成了零*。

維數，以及商所「度量」的東西

dim(V/U) = dim(V) - dim(U)          (the codimension of U)

   V = R^2, U = x-axis (dim 1):  dim(V/U) = 2 - 1 = 1.
   V/U is a line: its 'vectors' are the heights y, exactly R.

Compare a complement W with V = U (+) W:
   the quotient map  W -> V/U,  w |-> w + U  is an isomorphism.
   So V/U behaves like ANY complement of U -- but without
   you having to CHOOSE one.

V/U 具有補空間的維數——而且無需任意選擇。

這正是商相對於補的真正優點。補 W 是一種*選擇*（回憶：從不唯一）；商 V/U 是*典範的*——一勞永逸地由 U 構造，無需任意挑選。這就是為什麼商驅動了同構定理：線性映射的核被壓掉，倖存下來的 V/ker 被迫與像匹配。下一篇會把這個「被迫匹配」說精確。