直和與補：把空間拆開

定義直和的唯一性

當分解唯一時，和 U + W 稱為[[direct-sum|直和]]，記作 U ⊕ W：U + W 中每個 v 都能以 u + w（u 屬於 U，w 屬於 W）的形式恰好一種方式寫出。保證這一點的唯一代數條件是 U ∩ W = {0}。

Why U ^ W = {0} forces uniqueness:
   suppose  v = u1 + w1 = u2 + w2
   then     u1 - u2 = w2 - w1
   left side in U, right side in W, so the common value
   lies in U ^ W = {0}.
   => u1 - u2 = 0 and w2 - w1 = 0  =>  u1=u2, w1=w2.  Unique!

平凡交集恰好等價於唯一分解。

補：每個子空間都有搭檔

給定有限維 V 的子空間 U，[[complementary-subspace|補空間]] W 是任何滿足 V = U ⊕ W 的子空間。補總是存在——把 U 的一組基擴充成 V 的基，新增的向量張成一個可行的 W。注意：補並不唯一。在 R^2 中，一條直線 U 有*許多*補直線。

M_2 的分解實例與多個直和項

Split M_2 (2x2 matrices) into symmetric + skew-symmetric:
   S = { A : A^T = A }   dim 3   (basis [1,0;0,0],[0,0;0,1],[0,1;1,0])
   K = { A : A^T = -A }  dim 1   (basis [0,1;-1,0])

Every matrix splits uniquely:
   A = (A + A^T)/2  +  (A - A^T)/2
        ^symmetric        ^skew
   S ^ K = {0}  and  dim S + dim K = 3 + 1 = 4 = dim M_2
   =>  M_2 = S (+) K.

M_2 = 對稱 ⊕ 反對稱——一個典範的直和分解。

直和可以串聯：V = U_1 ⊕ U_2 ⊕ ... ⊕ U_k 表示每個向量都唯一地分裂到全部 k 塊中。這正是對角化背後的結構引擎——可對角化的映射把 V 拆成特徵子空間的直和。拆分空間很少是最終目標；它是逐塊理解變換的*工具*。