子空間的格

兩個子空間，兩種組合方式

回憶一下，子空間是本身就是向量空間的子集（對加法和數乘封閉，且含 0）。給定 V 的兩個子空間 U 和 W，免費冒出兩個新子空間：它們的交 U ∩ W（同時屬於二者的全部元素）和它們的和 U + W = { u + w : u 屬於 U, w 屬於 W }，即包含二者的最小子空間。

把它們排序，就得到一個格

用包含關係給子空間排序：U <= W 表示 U 含於 W。在這個序下，全體子空間構成一個[[subspace-lattice|格]]：任意兩個都有最大下界（下確界，= 交）和最小上界（上確界，= 和）。格的底是 {0}，頂是 V 本身。

A slice of the subspace lattice of R^3 (lines L, planes P):

                R^3            <- top (V)
              /  |  \
            P1   P2   P3       <- planes (dim 2)
           /  \ /  \ /  \
          L1   L2   L3  ...    <- lines (dim 1)
            \   |   /
               {0}             <- bottom (dim 0)

   meet  P_i ^ P_j = a line   (planes intersect in a line)
   join  L_i v L_j = a plane  (two lines span a plane)

沿格上升提高維數；下確界與上確界讓你下行與上行。

維數公式把一切串起來

格上有一條把下確界與上確界聯繫起來的優美數值定律——線性代數版的容斥原理：

   dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ^ W)

Example in R^4:
   U = span{ e1, e2, e3 }   dim 3
   W = span{ e3, e4 }       dim 2
   U ^ W = span{ e3 }       dim 1
   U + W = span{e1,e2,e3,e4}=R^4, dim 4

   check: 3 + 2 - 1 = 4.   OK.

格拉斯曼維數公式——子空間格的記帳規則。

盯著這條公式：當重疊 dim(U ∩ W) 為零時，和的維數恰好是 dim(U) + dim(W)——沒有任何東西被重複計算。這種乾淨、無損耗的情形如此重要，以至於下一篇要給它專門起個名字：直和。