資料集就是多維陣列
撇開抽象，張量不過是一個多維陣列：向量是一維的，矩陣是二維的，一疊矩陣則是形狀為 I×J×K 的三維陣列。想想使用者×電影×時間，或像素行×像素列×顏色，或詞×文件×主題。指標的個數就是張量的階。
CP：簡單張量之和
SVD把矩陣寫成 R 個秩一片之和 ∑_r σ_r u_r v_r^T。CP 分解是它直接的三維類比：T = ∑_{r=1}^R a_r⊗b_r⊗c_r，是 R 個簡單張量之和。能成立的最小 R 恰為張量秩。
Matrix (order 2): M = sum_{r=1}^R sigma_r * (u_r v_r^T) <- SVD
Tensor (order 3): T = sum_{r=1}^R a_r (x) b_r (x) c_r <- CP
Entrywise: T[i,j,k] = sum_{r=1}^R A[i,r] * B[j,r] * C[k,r]
Factor matrices A (IxR), B (JxR), C (KxR) hold the component vectors.
Storage: a full IxJxK tensor costs I*J*K numbers;
a rank-R CP model costs only R*(I+J+K) -- a huge win when R is small.
Surprise vs. matrices: tensor rank can EXCEED every dimension,
and the best rank-R approximation may FAIL to exist (ill-posed).
That is the price of leaving the safe 2-way world.Tucker：小核心乘以因子基
Tucker 分解是 SVD 的另一種推廣：用各自的因子矩陣壓縮每個模式，再用一個稠密的小核心張量 G 把它們黏起來。它是高階主成分分析——為每個模式選取標準正交軸，再在這些軸上表示資料。多重線性秩（每個模式一個）就是 G 的尺寸。
- 沿每個模式把張量展開成一個矩陣，對其做SVD，為每個模式得到一個標準正交因子矩陣 U(1)、U(2)、U(3)。
- 在每個模式只保留前幾個奇異方向——這就是逐模式的低秩逼近。
- 把資料投影到這些軸上得到小核心 G；模型即 G 重新接上各 U(i)。
從矩陣的入門課程到張量的多向壓縮，這條主線從未斷裂：萬有性質為張量安家，指標運算與縮併賦予它演算法則，外代數與對稱代數解釋了行列式與二次型，而 CP 與 Tucker 把這一切化為壓縮影片、推薦電影、分解腦掃描的演算法。這就是多重線性代數的回報。