對稱積
楔積要求變號，對稱代數恰恰相反：v·w = w·v。把張量代數對關係 v⊗w − w⊗v = 0 作商，分次部分 Sym^k V 就成為以基向量為變數的 k 次齊次多項式空間。Sym^2 V 正是二次型的歸宿——第一卷用對稱矩陣 B 寫作 u^T B v 的那些東西。
For n = dim V = 3:
dim Sym^k V = C(n+k-1, k).
Sym^2 of R^3 has dim C(4,2) = 6, basis:
x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz (the symmetric monomials)
-> exactly the 6 free entries of a symmetric 3x3 matrix.
Compare the two quotients of degree 2 over R^3:
dim Sym^2 V = 6 (symmetric part: T_{ij} = T_{ji})
dim Lambda^2 V = 3 (antisymmetric: T_{ij} = -T_{ji})
6 + 3 = 9 = dim(V (x) V). Every 2-tensor splits sym + antisym.向量與餘向量
上指標物件 v^i 住在 V 中；下指標物件 a_i 住在由線性泛函組成的對偶空間 V* 中。沒有額外結構時，這是兩個不同的空間——沒有把向量變成泛函的典範方式。但內積恰好提供了這座橋樑。
給定一個矩陣為 g_{ij} 的內積，降指標意為 v_i = g_{ij} v^j（與度規的縮併），升指標用逆 g^{ij}：v^i = g^{ij} v_j。在標準正交基下 g 是單位矩陣，因此升降指標毫無可見效果——這正是第一卷能夠模糊向量與其轉置之別的原因。
一段指標演算實例
我們來在一個具體例子上推指標。取 V = R^2，並賦予非標準正交的內積 g = [2, 1; 1, 1]，於是 g^{-1} = [1, −1; −1, 2]。我們將對同一向量先降後升，確認能回到出發點。
Metric and its inverse:
g = [ 2 1 ; 1 1 ] g^{-1} = [ 1 -1 ; -1 2 ]
(check: g * g^{-1} = I)
Start with vector v^j = (3, 4) (upper index, a genuine vector).
LOWER: v_i = g_{ij} v^j
v_1 = 2*3 + 1*4 = 10
v_2 = 1*3 + 1*4 = 7 -> v_i = (10, 7) (now a covector)
RAISE back: v^i = g^{ij} v_j
v^1 = 1*10 + (-1)*7 = 3
v^2 = (-1)*10 + 2*7 = 4 -> v^i = (3, 4) back to start.
Norm via the metric (a double contraction):
||v||^2 = g_{ij} v^i v^j = v_i v^i = 10*3 + 7*4 = 58.