外代數與楔積

把反對稱作為一種設計選擇

楔積 v∧w 是在張量積 v⊗w 上要求反對稱後得到的：v∧w = −(w∧v)，從而 v∧v = 0。把所有這樣的乘積都建出來，就得到 V 的外代數。它是整個張量代數對那些消滅對稱部分的關係作商所得。

外冪及其維數

k 次部分是第 k 個外冪 Λ^k V，由指標嚴格遞增的楔積 e_{i1}∧…∧e_{ik} 張成。它的維數是 C(n,k)＝從 n 中取 k。於是 Λ^0 V = 純量，Λ^1 V = V，而 Λ^n V 是一維的。次數超過 n 的部分全為零，因為那必然要重複某個指標。

For n = dim V = 3, basis e1,e2,e3:
  Lambda^0 V : {1}                         dim C(3,0)=1
  Lambda^1 V : {e1, e2, e3}                 dim C(3,1)=3
  Lambda^2 V : {e1^e2, e1^e3, e2^e3}        dim C(3,2)=3
  Lambda^3 V : {e1^e2^e3}                   dim C(3,3)=1
  Lambda^4 V : {0}                          (must repeat an index)

Total dim of exterior algebra = sum_k C(n,k) = 2^n  (here 1+3+3+1 = 8).

Reorder cost = sign of the permutation:
  e2 ^ e1 ^ e3 = -(e1 ^ e2 ^ e3),   e2 ^ e3 ^ e1 = +(e1 ^ e2 ^ e3).

三維空間的外冪；維數是二項式係數，求和為 2^n。

為何這就是行列式

Λ^n V 是一維的，因此線性映射 A 在其上誘導出對單個純量的乘法：(Av_1)∧…∧(Av_n) = (det A)·(v_1∧…∧v_n)。這個純量就是行列式。你在第一卷背下的那些交錯、多重線性、歸一化的規則，並非憑空拋出的公理——它們恰恰是最高外冪的規則。