指標記號、價與縮併

指標的上與下

在指標記號中，向量的分量帶上指標 v^i，而餘向量（線性泛函）的分量帶下指標 a_i。(p,q) 型張量有 p 個上指標和 q 個下指標，例如 T^{ij}_k。這個型也稱為價，它說明張量有多少個向量槽和多少個餘向量槽。線性映射的矩陣是 (1,1) 型：一上一下，記作 A^i_j。

縮併推廣了跡

縮併把同一張量的一個上指標與一個下指標配對並對其求和，把型從 (p,q) 降為 (p-1,q-1)。把 A^i_j 僅有的兩個指標縮併，即令 j = i 並求和：A^i_i = ∑_i A^i_i，這正是跡。縮併是幾乎每個張量公式背後的無座標引擎。

Matrix multiplication is a tensor contraction:
  (A B)^i_k = A^i_j B^j_k        (sum over the dummy j)

Trace is a self-contraction:
  tr(A) = A^i_i = sum_i A^i_i

Bilinear form acting on two vectors:
  f(u,v) = B_{ij} u^i v^j         (contract both lower indices)

Applying a (1,1) tensor and then taking trace (contracting twice):
  start from T^i_j v^j  -> w^i,    then contract: w^i with a_i -> a_i T^i_j v^j

Rule of thumb: count free indices to know the OUTPUT type.
  A^i_j B^j_k  has free i (up), k (down)  => result is type (1,1), a matrix.

矩陣乘積、跡與型的求值都是偽裝的縮併。

堆疊空間：克羅內克積

當你用座標寫出兩個算子的張量積時，得到的是克羅內克積 A⊗B：把 A 的每個元素 a_{ij} 替換為分塊 a_{ij}B。它是映射 A⊗B 作用在 V⊗W 上的具體矩陣，並滿足 (A⊗B)(C⊗D) = (AC)⊗(BD)——抽象張量恆等式的算術化身。

A = [a b; c d]   (2x2),   B = [p q; r s]   (2x2)

A (x) B = [ a*B  b*B ]   = [ a p   a q   b p   b q ]
          [ c*B  d*B ]     [ a r   a s   b r   b s ]
                           [ c p   c q   d p   d q ]
                           [ c r   c s   d r   d s ]    (4x4)

Size: (m1 x n1) (x) (m2 x n2)  ->  (m1 m2) x (n1 n2)
Useful facts:  (A (x) B)^T = A^T (x) B^T,   tr(A (x) B) = tr(A) tr(B).

克羅內克積是算子張量積的矩陣實現。