第一卷遺留的問題
線性映射吃一個向量，並由一個矩陣記錄；點積吃兩個向量，且對每個分量分別線性。這種第二類物件——固定其餘分量時對每個槽位線性——就是多重線性映射。第一卷從未給它一個專屬的歸宿；我們總是把雙線性型化簡為矩陣 B，寫成 f(u,v) = u^T B v。這對取值在純量的型有效，但對輸出本身是向量的映射就不行了。
第二卷的核心思想：與其直接研究多重線性映射，不如建構一個空間 V⊗W，使得從 V×W 出發的每個雙線性映射都變成從 V⊗W 出發的普通線性映射。我們把一類困難的映射換成更大空間上一類簡單的映射。
用文字表述萬有性質
萬有性質說：存在一個空間 V⊗W 和一個雙線性映射 (v,w) ↦ v⊗w 進入它，使得對任意雙線性映射 f: V×W → U，都存在唯一的線性映射 f̃: V⊗W → U 滿足 f(v,w) = f̃(v⊗w)。一句口號：V⊗W 是雙線性映射的萬有接收者。
元素 v⊗w 是簡單（可分解）張量。它們張成 V⊗W，但並不是整個空間——一般的張量是若干簡單張量之和，正如一般的矩陣是若干秩一矩陣之和。現在記住這個類比，往後處處受益。
基底層面的構造
具體地說，若 {e_1,…,e_m} 是 V 的一組基，{f_1,…,f_n} 是 W 的一組基，則 {e_i⊗f_j} 是 V⊗W 的一組基，於是 dim(V⊗W) = m·n——是相乘而非相加（對比 dim(V+W) = m+n）。簡單張量 v⊗w 的座標恰好是兩個座標向量的外積。
V = R^2 (basis e1,e2), W = R^3 (basis f1,f2,f3)
V (x) W has dim 2*3 = 6, basis {e_i (x) f_j}.
Take v = (3, -1) and w = (2, 0, 5).
The simple tensor v (x) w is the OUTER PRODUCT v w^T:
[ 3*2 3*0 3*5 ] [ 6 0 15 ]
v w^T = [ -1*2 -1*0 -1*5 ] = [ -2 0 -5 ]
Read off coordinates in basis {e_i (x) f_j}:
coeff of e1(x)f1 = 6, e1(x)f3 = 15, e2(x)f1 = -2, e2(x)f3 = -5,
the rest are 0.
NOT every 2x3 array is simple: [1 0; 0 1; ...] style arrays of rank > 1
require a SUM of simple tensors. Matrix rank = number of simple terms needed.