正定性是關於譜的陳述
一個自伴算子當對所有 x 滿足 <Ax, x> >= 0 時稱為半正定，當對 x != 0 嚴格不等時稱為正定。藉助譜定理，這化為一個乾淨的譜陳述：A 為正，當且僅當其全部特徵值非負。二次型 <Ax, x> = sum lambda_i |<x, q_i>|^2 恰在每個 lambda_i >= 0 時是平方項的非負組合。這直接接回第一卷的正定矩陣。
獨一無二的正平方根
正定性加上函數演算給出一個乾淨的構造：正平方根。由於正算子 A 的每個特徵值 >= 0，函數 sqrt 在譜上有定義，故 A^{1/2} = sum sqrt(lambda_i) P_i 本身是一個滿足 (A^{1/2})^2 = A 的正算子。而且它在正算子之中唯一——恰有一個滿足 B^2 = A 的正算子 B。
A = [2, 1; 1, 2] (positive: eigenvalues 3, 1, both > 0)
spectral resolution: A = 3 P_1 + 1 P_2
P_1 = [0.5, 0.5; 0.5, 0.5], P_2 = [0.5,-0.5;-0.5, 0.5]
positive square root applies sqrt eigenvalue-wise:
A^{1/2} = sqrt(3) P_1 + sqrt(1) P_2
= sqrt(3) [0.5,0.5;0.5,0.5] + [0.5,-0.5;-0.5,0.5]
verify: (A^{1/2})^2 = 3 P_1 + 1 P_2 = A (P_i orthogonal idempotents)
Why unique: any positive B with B^2 = A is diagonal in A's eigenbasis
and must take the NONnegative root on each eigenvalue -> forced to be A^{1/2}.正平方根並非好奇心的玩物——它是極分解 A = U |A|（其中 |A| = (A* A)^{1/2}）背後的引擎，也是統計中白化變換背後的引擎。每當你需要一個正算子的「一半」時，譜定理恰好交給你唯一的一個。
把特徵值看作優化：瑞利商與極小極大
對自伴算子 A，瑞利商 R(x) = <Ax, x> / <x, x> 是 A 在方向 x 上的平均拉伸。譜定理精確釘住其取值範圍：R(x) 遍歷 [lambda_min, lambda_max]，當 x 是最大特徵向量時取到最大特徵值，當 x 是最小特徵向量時取到最小特徵值。於是極端特徵值是一個優化問題，而不僅僅是多項式的根。
內部特徵值也被庫朗-費舍爾極小極大定理所捕獲：第 k 個特徵值是對所有 k 維子空間取極小、對每個子空間上瑞利商取極大（對偶地，是極大-極小）。這種變分描述正是特徵值*穩定*的原因：外爾不等式說，把 A 擾動一個 E 至多使每個特徵值移動 ||E||，因為每個特徵值都是某個本身只略微移動的商的極值。