譜分解與函數演算

從 Q D Q^T 到投影算子之和

分解 A = Q D Q^T 受制於基；譜分解讓它解放。把標準正交特徵向量按其特徵值分組，對每個互異特徵值 lambda_i，令 P_i 為投到其特徵子空間上的正交投影。於是 A = lambda_1 P_1 + ... + lambda_k P_k。每個 P_i 都以無坐標方式構造，即在共享該特徵值的特徵向量 q 上對外積 q q^T 求和。

Spectral resolution of a normal operator with eigenvalues lambda_1..lambda_k:

  P_i = sum over orthonormal eigenvectors q of lambda_i  of  q q^*

  (1)  P_i = P_i^*       each projector is self-adjoint (ORTHOGONAL projection)
  (2)  P_i^2 = P_i       idempotent
  (3)  P_i P_j = 0  (i!=j)   eigenspaces are mutually orthogonal
  (4)  P_1 + ... + P_k = I    resolution of the identity

Spectral form:
  A = lambda_1 P_1 + lambda_2 P_2 + ... + lambda_k P_k

Example  A = [2, 1; 1, 2]  (eigenvalues 3, 1):
  q_1 = (1, 1)/sqrt2,  q_2 = (1,-1)/sqrt2
  P_1 = q_1 q_1^T = [0.5, 0.5; 0.5, 0.5]
  P_2 = q_2 q_2^T = [0.5,-0.5;-0.5, 0.5]
  check  3 P_1 + 1 P_2 = [2, 1; 1, 2] = A   and  P_1 + P_2 = I.

譜分解：A 表為以特徵值加權的正交投影算子之和。

正交投影算子與譜測度

相較第一卷的譜投影，關鍵升級在於性質（1）：這裡的投影算子是*正交的*，P_i = P_i*，因為各特徵子空間相互正交——這是譜定理的饋贈，對一般可對角化算子並不成立。這族 {P_i} 就是有限維投影值測度：它給每個特徵值分配一個投影，「度量一個向量有多少分量駐留於此」。

函數演算：把 f 作用於算子

譜分解讓函數演算變得毫不費力。要把函數 f 作用於 A，只需把它作用於每個特徵值並保留同一組投影算子：f(A) = f(lambda_1) P_1 + ... + f(lambda_k) P_k。這就為譜上的任意 f *定義*了 f(A)——不限於多項式，sqrt、exp、log、1/x、甚至階躍函數皆可——因為 A 在每個特徵子空間上不過是乘以 lambda_i。

對正規算子作 A = U D U* 的對角化，從 D 的對角線讀出其譜 {lambda_i}。
逐純量施加 f：構造對角矩陣 f(D) = diag(f(lambda_1), ..., f(lambda_n))。
再共軛回去：f(A) = U f(D) U*，等價於按譜分解對 f(lambda_i) P_i 求和。