複數譜定理：正規算子

伴隨算子與「正規」的含義

在 C 上，轉置的正確對應物是共軛轉置 A*（先轉置，再把每個元素取共軛），由 <Ax, y> = <x, A*y> 定義。一個算子當與自身伴隨可交換時稱為正規：A A* = A* A。這比自伴性更弱——自伴（A = A*）只是兩個因子字面相等的特例——但它恰好是分量剛好的結構。

定理本身，以及正規為何恰到好處

複數譜定理陳述：一個複算子可酉對角化，當且僅當它是正規的。可酉對角化意指 A = U D U*，其中 U 是酉矩陣（各列標準正交）、D 為對角矩陣——這是 A = Q D Q^T 的複數孿生。其中「僅當」方向是乾淨的部分：若 A = U D U*，則 A* = U D* U*，而對角矩陣彼此可交換，故 A A* = U D D* U* = U D* D U* = A* A，於是 A 必為正規。

Reading off the spectrum class from normality:

  A normal, A = U D U*.  The eigenvalues are the diagonal of D.

    A is self-adjoint   (A = A*)     <=>  every eigenvalue is REAL
    A is skew-adjoint   (A = -A*)    <=>  every eigenvalue is IMAGINARY
    A is unitary        (A* A = I)   <=>  every eigenvalue has |lambda| = 1

Example (unitary rotation, normal but NOT self-adjoint):
  R = [0, -1; 1, 0]   over C
  R* R = I  (unitary)  ->  eigenvalues  +i, -i   (both on |z| = 1)
  no real eigenvectors, but a full ORTHONORMAL complex eigenbasis exists.

深刻的方向——正規蘊含可酉對角化——經由舒爾定理：每個複算子都可酉*三角化*，A = U T U*，T 為上三角。當 A 還是正規的時候，同一個 A A* = A* A 強制 T 的非對角元素全部為零，使三角形坍縮為對角形。正規性恰恰是把舒爾三角化升級為完全對角化的那個條件。

復原實數定理，與凱萊之橋

如今實數譜定理作為推論自然落出。實對稱矩陣是自伴的，從而正規，於是在 C 上可酉對角化；但其特徵值為實、特徵向量可取為實，故酉矩陣 U 實際上是一個實正交矩陣 Q。兩條定理之間的落差，恰是「實特徵值」（對稱）與「特徵值可處於 C 中任意位置」（一般正規）之間的差別。