回報——任意域上的相似性

完整的相似不變量

兩個矩陣 A 與 B 相似（即存在可逆 P 使 B = P A P^-1），當且僅當它們有相同的有理標準形——等價地，有相同的一列不變因子。RCF 是完整不變量：它看見相似性所關心的一切，而不摻雜任何無關之物。

這嚴格強於僅檢查特徵多項式與極小多項式。這兩者在不相似的矩陣上也可能相同；而完整的不變因子列表從不撒謊。

相似性與域無關

這裡是深層的驚喜。設 A 與 B 元素皆為有理數。你可能擔心它們要等到把 Q 擴大到複數之後才相似。但事實上相似性與域無關：若 A 與 B 在一個大域上相似，那麼它們在所棲身的小域上就已經相似。

原因既機械又優美：xI - A 的史密斯標準形由多項式行列變換算得，而這些變換從不離開基域。因此有理矩陣的不變因子本身就是有理的，擴大域無法改變它們。

有理標準形與若爾當標準形如何相遇

當域大到包含每個特徵值時（例如在 C 上），兩種標準形都存在，且它們是同一組初等因子的兩種視角——參見有理標準形與若爾當標準形。質冪初等因子 (x - lambda)^m 化為大小為 m、特徵值為 lambda 的若爾當塊，或者準素有理形式中 (x - lambda)^m 的友矩陣。

Same operator, two canonical forms when lambda lives in the field:

  elementary divisor   (x - lambda)^3

  Jordan block:          companion (primary rational):
  [ lambda  1     0    ]   [ 0  0   lambda^3            ]
  [ 0     lambda  1    ]   [ 1  0  -3 lambda^2          ]
  [ 0       0   lambda ]   [ 0  1   3 lambda            ]

Same invariant data; different bases. Over a field missing lambda,
only the companion (rational) form survives.

同一個初等因子，呈現為若爾當塊或友矩陣塊。

這就是整條主線的回報。從第一門課程的一個問題出發——兩個矩陣何時是同一算子的偽裝？——我們穿過模、史密斯標準形與不變因子，抵達一個唯一、可計算、與域無關且完全無需特徵值的答案。有理標準形就是相似性問題的蓋棺定論。