構造有理標準形

多項式的友矩陣

每個循環部分 F[x]/(d_i) 由 d_i 的友矩陣表示：算子「乘以 x」在基 {1, x, x^2, ...} 下的表示。其最後一列放置該多項式（取負）的係數，而次對角線上的一串 1 負責移位。

For monic d(x) = x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_1 x + c_0,
the companion matrix C(d) is

  [ 0  0  ...  0   -c_0     ]
  [ 1  0  ...  0   -c_1     ]
  [ 0  1  ...  0   -c_2     ]
  [ .        .       .      ]
  [ 0  0  ...  1   -c_{n-1} ]

Key fact: char poly of C(d) = min poly of C(d) = d(x).

Example  d = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1:

  C(d) = [ 0  -1 ]
         [ 1   2 ]

堆疊各個塊

A 的有理標準形是塊對角矩陣，其各塊為不變因子 d1 | d2 | ... | dk 按整除順序排列的友矩陣。由於結構定理唯一地產生這些 d_i，該矩陣被完全確定——這就給出了有理標準形的存在性與唯一性。

1. 構造 xI - A 並把它在 F[x] 上化為史密斯標準形。
2. 捨棄常數 1；剩下的對角元就是不變因子 d1 | ... | dk。
3. 把每個 d_i 替換為它的友矩陣 C(d_i)。
4. 把這些 C(d_i) 沿對角線排列；所得塊對角矩陣即為 A 的有理標準形。

從標準形免費讀出多項式

透過從不變因子求極小/特徵多項式，標準形免費給你兩個不變量：特徵多項式是所有不變因子之積 d1 d2 ... dk，而極小多項式是最大的那個 dk（由整除鏈，它是其餘每個 d_i 的倍數）。