表現矩陣 xI - A
選定一組基，把 T 寫成矩陣 A。把 V 定義為 F[x]-模的那些關係，由表現矩陣 xI - A 刻畫，其元素皆為多項式。這正是你為求特徵多項式而計算其行列式的那個 xI - A——只不過現在我們保留整個矩陣，而不僅是它的行列式。
史密斯標準形
在 PID F[x] 上，我們可以對行和列同時做消元，其中「主元」是多項式，並可用單位（非零純量）去乘行或列。以此方式把 xI - A 化為對角矩陣，便得到它的史密斯標準形：一串首一多項式 d1 | d2 | ... | dn，每個整除下一個。
A = [ 2 -1 ] Build xI - A over Q[x]:
[ 1 0 ]
xI - A = [ x-2 1 ]
[ -1 x ]
Row/column ops over Q[x] (swap, add poly multiples, scale by units):
swap rows -> [ -1 x ]
[ x-2 1 ]
clear col 1 ->[ -1 x ]
[ 0 1 + x(x-2) ]
normalize -> [ 1 0 ]
[ 0 x^2-2x+1 ]
Smith normal form: diag( 1 , x^2 - 2x + 1 ) = diag( 1, (x-1)^2 ).讀出結構
對角線上非常數的元素就是 V 的不變因子。PID 上有限生成模的結構定理於是斷言：V 分解為循環模 F[x]/(d_i) 的直和，每個不變因子對應一個。（常數 1 給出平凡的直和項，予以捨棄。）
分解有兩種風味。按不變因子 d1 | d2 | ... 歸組，得到不變因子形式；而把每個 d_i 分解為質冪並加以收集，則得到初等因子。兩者編碼的是同一個模，只是打包方式不同。