把算子變成一個模

從標量到多項式

向量空間 V 允許你用域 F 中的純量 c 去縮放向量 v。現在固定 V 上的線性算子 T 並發問：能否也讓多項式來縮放向量？定義 x 作用在 v 上為 T(v)。於是 x^2 作用為 T(T(v))，而多項式 p(x) = c0 + c1 x + ... 作用為 c0 v + c1 T(v) + ...。我們便賦予了 V 一個由多項式環 F[x] 給出的作用。

一個帶有加法、並有一個環作用其上（滿足通常規則）的集合，稱為模。因此配備了這一作用的 V 就是[[f-x-module-structure|F[x]-模結構]]。模是向量空間的自然推廣，其純量來自環而非域。

為何這是個絕妙的技巧

環 F[x] 是一個主理想整環（PID）——每個理想都由單個元素生成，恰如整數 Z。關於 PID 上的模有一條深刻的分類定理。把 V 變成PID 上的模後，我們就能免費地把該定理用到 T 上。整個相似性問題成為模分類的一個特例。

一個循環模的實例

當單個向量 v0 透過反覆施加 T 生成整個 V 時，V 是循環的。此時生成空間 {v0, T v0, T^2 v0, ...} 最終停止增長，而第一個相關關係給出了那個「零化」v0 的多項式。

V = R^3,  pick v0.   Apply T over and over:

  v0,  T v0,  T^2 v0,  T^3 v0, ...

The first time T^3 v0 is a linear combination of the earlier ones, say

  T^3 v0 = a*v0 + b*(T v0) + c*(T^2 v0),

rearrange to read off the monic polynomial that annihilates v0:

  ( x^3 - c x^2 - b x - a ) acts as 0 on v0.

That polynomial is the order of the cyclic module F[x]*v0.