第一卷的終點
在第一門課程裡你學過對角化：若矩陣 A 擁有一整組獨立的特徵向量，就能寫成 A = P D P^-1，其中 D 為對角陣。並非每個矩陣都可對角化，於是若爾當標準形透過在對角線正上方允許出現 1 來補足缺口。兩種工具回答的是同一個問題——兩個矩陣何時相似？——但都有一個隱藏代價。
這個隱藏代價就是特徵值。若爾當塊由特徵多項式的根 lambda 構造而成。如果這些根不屬於你的域，那麼在該域上根本不存在若爾當標準形。
一個沒有特徵值的矩陣
在有理數域 Q 上工作。取旋轉 90 度的矩陣，它的特徵多項式為 x^2 + 1，在 Q 中（甚至在 R 中）都沒有根。因此在 Q 上這個矩陣不可對角化，也沒有若爾當標準形——然而它是一個再普通不過的線性算子，我們理應能夠對它分類。
A = [ 0 -1 ] over the field Q
[ 1 0 ]
char poly det(xI - A) = x^2 + 1
roots in Q? none (x^2 + 1 is irreducible over Q)
=> A is NOT diagonalizable over Q
=> A has NO Jordan form over Q
but A is a genuine operator -- we still want a canonical form for it.無需任何根的標準形
有理標準形（RCF）正好解決這一問題。它不是由特徵值構造，而是由係數在你的域中的多項式構造——因此對任意域上的任意算子它都存在，無需代數閉包。代價是它的塊看起來不同：得到的不是接近對角的若爾當塊，而是多項式的友矩陣。