回報：主軸、二次曲線，與超越實數

主軸定理

配方法用任意可逆 P 對角化，這會扭曲長度與角度。主軸定理說，對實對稱型你能做得更好：存在一個正交的 P（旋轉/反射，P^T = P^-1）使 P^T A P 為對角陣。由於 P 正交，合同與相似重合，故對角元素恰是 A 的特徵值。

分類二次曲線與二次曲面

現在是幾何回報。一般的二次曲線 a x^2 + b xy + c y^2 + ... = 1 是 q(x) 加上線性項；主軸定理旋轉掉交叉項，配方法平移掉線性項，於是曲線呈現於標準位置。此時二次部分的符號差便決定了形狀——無需作圖。

[[conic-classification]] in R^2 by the signature of the quadratic part:

  signature (2, 0)  both eigenvalues same sign  -> ELLIPSE
  signature (1, 1)  eigenvalues opposite signs  -> HYPERBOLA
  signature (1, 0)  one zero eigenvalue         -> PARABOLA (degenerate axis)

Worked example:  5 x^2 + 4 xy + 5 y^2 = 9
  A = [5, 2; 2, 5]   eigenvalues  3 and 7   (both > 0)
  rotate to principal axes:   3 u^2 + 7 v^2 = 9
  signature (2, 0)  ->  an ELLIPSE, semi-axes sqrt(9/3), sqrt(9/7).

二次部分的符號差無需作圖即可分類二次曲線。

同一台機器在任意維數運轉。在 R^3 中，二次曲面的分類——橢球面、單葉與雙葉雙曲面、拋物面、錐面——可從一個 3x3 對稱矩陣的符號差讀出。一個不變三元組 (p, q, z)，只需算一次，就命名了一張你本來難以想象的曲面。

超越實數：埃爾米特型與辛形式

在 C 上，x^T A x 可能是複數，對度量長度毫無用處，於是我們對一個槽位取共軛：埃爾米特型對一個變元線性、對另一個共軛線性，A 滿足 A* = A（共軛轉置）。它的取值 q(x) = x* A x 總是實的，有一個實符號差，並有自己的譜定理——埃爾米特矩陣可酉對角化且特徵值為實。這是量子力學背後的型。

而第二篇那條反對稱線索抵達終點：非退化的交替型是一個辛形式，且慣性律有一個驚人的類比——給定偶數維的所有辛形式都彼此合同。恰好只有一個，標準矩陣為 [0, I; -I, 0]；沒有符號差，沒有形狀可分類，因為只有一種形狀。這是哈密頓動力學之下那剛性的幾何。