西爾維斯特慣性定律：符號差與正定性

不同的對角，相同的符號

第三篇留下一處令人不安的自由：對角元素 d_i 取決於你所選的代換。把 y_i 縮放 c 倍會把 d_i 縮放 c^2 倍，所以在 R 上大小不是不變量。但每個 d_i 的符號能挺過任何正縮放，而這正是真正不變量得以逃逸的縫隙。

西爾維斯特慣性定律把這說精確：對一個實對稱型，無論你如何對角化它，正對角元素的個數（記為 p）、負的個數（q）與零的個數（z）總是相同。三元組 (p, q, z) 是一個合同不變量——它根本不依賴於基。

符號差與型的分類

符號差是數對 (p, q)——等價於單個數 p - q。由慣性定律，n 個變數的兩個實二次型合同當且僅當它們符號差相同。這是一個完全不變量：在 R 上，對每個滿足 p + q + z = n 的容許 (p, q, z) 恰有一個型（至多差合同），且每個型都合同於 diag(+1, ..., +1, -1, ..., -1, 0, ..., 0)。

正定性不過是符號差的極端情形，直接從 (p, q, z) 讀出：正定意味著 p = n（全為正，x != 0 時 q(x) > 0）；負定意味著 q = n；半正定意味著 q = 0 但存在零；不定意味著 p > 0 且 q > 0。第三篇裡 q = y1^2 - 3 y2^2 的例子符號差為 (1, 1)——不定。

西爾維斯特判據：從子式判定正定性

你很少為了知道符號而專門去對角化。西爾維斯特判據直接從矩陣讀出正定性：對稱 A 是正定的當且僅當每個順序主子式都為正——左上角 1x1、2x2、……、n x n 塊的行列式全 > 0。（對負定，順序主子式須從負開始交替變號。）

Test  A = [2, 1; 1, 2]  for positive-definiteness:
   leading 1x1 minor:  det[2]          = 2  > 0   OK
   leading 2x2 minor:  det[2,1; 1,2]   = 3  > 0   OK
   => A is positive definite (signature (2, 0)).

Now  A = [1, 2; 2, 1]  (the Guide 3 example):
   1x1 minor:  1  > 0     OK so far...
   2x2 minor:  det = 1 - 4 = -3  < 0   FAILS
   => not positive definite; signature is (1, 1), indefinite.