藉助合同把型對角化

型的矩陣如何隨基改變

用可逆矩陣 P 作換基，記 x = P x'。則 B(x, y) = x^T A y = (x')^T (P^T A P) y'，所以在新基下型的矩陣是 P^T A P，不是 P^-1 A P。這就是合同，它是型的正確等價關係——區別於第一卷中支配算子的相似 P^-1 A P。

目標：化為平方和

把二次型對角化意味著找到一組座標，使其沒有交叉項：q = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2。等價地，找到可逆 P 使 P^T A P 為對角陣，即一組關於該型的正交基——彼此 B-正交的基向量，即 i != j 時 B(e_i, e_j) = 0。值得注意的定理是：在任何特徵不為 2 的域上，每個對稱型都可對角化。

Complete the square on  q(x) = x1^2 + 4 x1 x2 + x2^2

Group the x1 terms and complete the square:
   q = (x1^2 + 4 x1 x2) + x2^2
     = (x1 + 2 x2)^2 - 4 x2^2 + x2^2
     = (x1 + 2 x2)^2 - 3 x2^2

New coordinates:   y1 = x1 + 2 x2 ,   y2 = x2
   => q = y1^2 - 3 y2^2          (a clean sum of squares)

Matrix view:  A = [1, 2; 2, 1]   congruent to   diag(1, -3)
Signs of the diagonal: one +, one -  (remember this for Guide 4).

配方法藉助合同把二次型對角化。

配方法演算法

選一個以非零係數出現平方的變數；收攏所有含它的項並配方，為配成的整組引入一個新變數。
剩下的是僅含其餘變數的二次型；對它遞迴，直到用盡每個變數。
若沒有平方項可用（例如 q = 2 x1 x2），先代換 x1 = u + v, x2 = u - v 製造出平方項，再繼續。
把所有線性代換複合成一個 P；結果將 q 寫成平方和，並展示出合同 P^T A P = D。