對稱、反對稱，與二次型的誕生

把任意型拆成兩半

若對一切 u, v 有 B(u, v) = B(v, u)，則型是對稱的——等價於其矩陣滿足 A^T = A。若對一切 v 有 B(v, v) = 0，則型是交替（反對稱）的，這在大多數域上強制 A^T = -A。在任何 2 可逆的域上，每個型都唯一地分解為對稱部分與反對稱部分之和。

Any matrix A splits as A = S + K with:
   S = (A + A^T) / 2   symmetric   (S^T = S)
   K = (A - A^T) / 2   skew        (K^T = -K)

Example  A = [2, 1; 0, 3] from Guide 1:
   A^T = [2, 0; 1, 3]
   S = (A + A^T)/2 = [2,   0.5; 0.5, 3]
   K = (A - A^T)/2 = [0,   0.5; -0.5, 0]
   check:  S + K = [2, 1; 0, 3] = A         OK

從對稱型到二次型

給定一個對稱雙線性型 B，把同一個向量餵給它兩次：q(x) = B(x, x)。結果是一個二次型——座標中的二次齊次多項式 q(x) = x^T A x，其中 A 對稱。長度平方 ||x||^2 就是內積的二次型；能量、方差與二次曲線方程，全都是喬裝的二次型。

這一聯繫雙向通行。由型限制到對角線即得 q；反過來，極化恆等式 B(u, v) = (1/2)( q(u + v) - q(u) - q(v) ) 從二次型重建出對稱型。所以對稱雙線性型與其二次型攜帶完全相同的資訊——同一對象的兩種視角。

初嚐反對稱世界

反對稱這一半並非廢料——它自有豐富的理論。非退化的交替型是一個辛形式，它是哈密頓力學與相空間背後的幾何。反對稱型的行為與對稱型大不相同：例如非退化的交替型只能存在於偶數維，這是一個引人注目的事實，你將在最後一篇重訪它。