第一卷悄悄假定的東西
在第一卷中，內積 <u, v> 是你度量長度與角度的工具。但看看它實際在做什麼：它吞入兩個向量並返回一個純量，且對每個變元分別線性。點積 u^T v 就是範例。這兩點——兩個輸入、各自線性——就是全部骨架；對稱性與正性是我們現在要釋放的附加條件。
向量空間 V 上的雙線性型 B 是任意映射 B: V x V -> F，當固定第二個變元時對第一個槽位線性，當固定第一個變元時對第二個槽位線性。不要求對稱，不要求正性。內積只是一個非常乖巧的雙線性型；本專題餘下部分探索整個家族。
一旦固定基，每個型都是一個矩陣
固定一組基 e_1, ..., e_n。一個雙線性型完全由 n^2 個數 a_ij = B(e_i, e_j) 決定，因為線性把型鋪展到各座標上。把它們收進格拉姆矩陣 A = [a_ij]；於是對座標列向量 x, y，有 B(x, y) = x^T A y。選定基把抽象的型變成普通的矩陣運算。
B(x, y) = x^T A y (A is the Gram matrix in this basis)
Example on R^2 with A = [2, 1; 0, 3]:
B(x, y) = [x1 x2] [2, 1; 0, 3] [y1; y2]
= 2 x1 y1 + 1 x1 y2 + 0 x2 y1 + 3 x2 y2
Read it off: the coefficient of x_i y_j is exactly a_ij.
a_11 = 2 = B(e_1, e_1)
a_12 = 1 = B(e_1, e_2)
a_21 = 0 = B(e_2, e_1) <- note a_12 != a_21: NOT symmetric
a_22 = 3 = B(e_2, e_2)退化：根與非退化型
內積絕不會讓一個非零向量對一切都給出零，但一般的型可以。B 的根是所有滿足 B(v, w) = 0 對一切 w 成立的向量 v 之集——那些型根本看不見的方向。在座標下，根恰是 A 的零空間。當根僅為 {0} 時，型是非退化的，等價於 det A != 0。