收官：可對角化性是一道多項式判據

可對角化判據

壓頂定理：T 可對角化當且僅當它的極小多項式分解為不同的線性因子，m_T(x) = (x - lambda_1)...(x - lambda_r)，且各 lambda_i 互不相同。這就是極小多項式可對角化判據。無需數特徵向量，無需比較幾何重數與代數重數——一次分解就裁決。

(=>) 若 T 可對角化、不同特徵值為 lambda_1,...,lambda_r，則 prod (T - lambda_i I) 殺死每個特徵向量，從而殺死整個空間。故 prod (x - lambda_i) 零化 T 且 m_T 整除它——m_T 無平方因子。
(<=) 若 m_T = prod (x - lambda_i) 的根互異，則各因子兩兩互素。據第四篇，V = (+) ker(T - lambda_i I)，特徵空間的直和。存在特徵向量基，故 T 可對角化。

實例診斷：相同的特徵多項式，不同的命運

Both matrices have char poly p(x) = (x - 5)^2.

A = [5, 0;     B = [5, 1;
     0, 5]          0, 5]

A - 5I = 0          B - 5I = [0,1; 0,0] != 0
=> m_A(x) = x - 5    => (B-5I)^2 = 0, (B-5I) != 0
   (distinct, deg 1)    so m_B(x) = (x - 5)^2 (repeated)

Verdict via the test:
  m_A squarefree   -> A IS diagonalizable (already diagonal)
  m_B has (x-5)^2  -> B is NOT diagonalizable (Jordan block)

相同的特徵多項式；極小多項式區分可對角化與虧損。

關於域的告誡：「分解為線性因子」預設了特徵值落在你的域裡。若 m_T 不可約（例如實數域上的 x^2 + 1，即 90 度旋轉），則沒有實特徵值，T 在 R 上不可對角化——但它在分裂域 C 上可以，那裡 m_T = (x - i)(x + i) 無平方因子。可對角化性依賴於域；多項式判據把這種依賴講得明明白白。

兩段尾聲：係數即冪和，與可交換性

特徵多項式的係數是特徵值的對稱函數，而牛頓恆等式透過冪和 p_k = sum lambda_i^k = trace(T^k) 表達它們。你只需對矩陣冪求跡即可算出這些冪和——無需特徵值——再代數地恢復 p_T 的所有係數。跡與行列式不過是這一族中的第一個與最後一個。

最後，使這一切融貫的結構性原因：同一算子的任意兩個多項式彼此可交換，f(T) g(T) = g(T) f(T)，因為它們都是同一個 T 的冪之和。這正是為何第四篇的投影、第二篇的逆、以及函數演算中的函數都住在同一個交換代數 F[T] 裡——這個代數由 m_T 主宰。知道 m_T 就等於知道 T 生成的整個代數。由友矩陣的構造，每個首一多項式都被實現為某個算子的特徵多項式且極小多項式——所以這套理論不是特例，而是相似意義下算子的整個版圖。