互素因子、中國剩餘定理與譜投影

互素分解使空間分裂

設 m_T = f g，其中 f 與 g 互素（gcd(f, g) = 1）。由貝祖定理存在多項式 a, b 使 a f + b g = 1。在 T 處求值：a(T) f(T) + b(T) g(T) = I。定義 P = b(T) g(T)、Q = a(T) f(T)；則 P + Q = I。這是互素分解與中國剩餘定理的算子形式。

P 與 Q 是互補投影：P^2 = P，Q^2 = Q，P Q = 0。它們的像是 V_f = ker f(T) 與 V_g = ker g(T)，且 V = V_f (+) V_g。每個直和項都是 T-不變的，因為 P 與 Q 是 T 的多項式，而算子的多項式與它可交換。我們就把算子的定義域分解為獨立的不變塊。

多個因子：用插值構造譜投影

當 m_T(x) = prod (x - lambda_i) 分解為不同的線性因子時（可對角化情形，見第五篇），各 (x - lambda_i) 兩兩互素，故 V = (+)_i ker(T - lambda_i I)：特徵空間的直和。可用拉格朗日插值把每個投影到 lambda_i-特徵空間的 P_i 寫成 T 的單個多項式。

Distinct eigenvalues lambda_1, ..., lambda_r.

Lagrange basis polynomial for lambda_i:
  L_i(x) = prod_{j != i} (x - lambda_j) / (lambda_i - lambda_j)

It satisfies L_i(lambda_j) = 1 if j == i, else 0.

Spectral projection onto the lambda_i eigenspace:
  P_i = L_i(T)

Properties:  P_i P_j = 0 (i != j),  sum_i P_i = I,
             T = sum_i lambda_i P_i   (spectral resolution)

拉格朗日插值直接把譜投影製造成 T 的多項式。

恆等式 T = sum_i lambda_i P_i 就是譜分解。它呼應第一卷的譜定理，卻不需要內積——只需 m_T 分解為不同的線性因子。幾何（正交投影）被純代數（插值投影）所取代。

函數演算：合理地定義 f(T)

在特徵值互不相同時，任何在譜上有定義的函數 f 都給出算子 f(T) = sum_i f(lambda_i) P_i。這個多項式函數演算把純量函數一致地轉化為算子：它與普通的多項式代入一致，且 (fg)(T) = f(T) g(T)。你只需作用在特徵值上就能構造 sqrt(T)、exp(T) 或 T^{-1}。