零化理想與極小多項式

求值映射的核是一個理想

把在 T 處的求值重新看作環同態 ev_T: F[x] -> End(V)，f |-> f(T)。它的核恰好是零化多項式的集合。環同態的核總是一個理想：它對加法封閉，且若 f 零化 T，則對任意 g，gf 也零化 T，因為 (gf)(T) = g(T) f(T) = g(T) 0 = 0。

F[x] 是主理想整環：每個理想都由單個多項式生成，可透過歐幾里得除法找到。零化理想的首一生成元就是極小多項式 m_T。所以「f 零化 T」恰好等價於「m_T 整除 f」。第一篇的唯一性與第二篇的整除性，如今合為一句話。

極小多項式與特徵值共享根

關鍵定理：m_T 與 p_T 擁有完全相同的根（僅重數不同）。特別地，m_T 的根恰好是 T 的特徵值。這正是極小多項式與特徵值的內容。

1. 若 lambda 是特徵值、v 是特徵向量，則 m_T(T) v = m_T(lambda) v（逐冪應用：T^k v = lambda^k v）。但 m_T(T) = 0，故 m_T(lambda) v = 0，而 v != 0 迫使 m_T(lambda) = 0。每個特徵值都是 m_T 的根。
2. 反之，若 m_T(lambda) = 0，分解 m_T(x) = (x - lambda) g(x)。則 0 = m_T(T) = (T - lambda I) g(T)。若 T - lambda I 可逆，則 g(T) = 0 會使 g 成為更小的零化多項式，與最小性矛盾。所以 T - lambda I 奇異：lambda 是特徵值。

計算 m_T 並讀出冪零指數

由於 m_T 整除 p_T 且根相同，m_T 由與 p_T 相同的不可約因子構成，每個的冪次至多等於它在 p_T 中的重數。在代數閉域上求 m_T：分解 p_T(x) = prod (x - lambda_i)^{a_i}，然後對每個 lambda_i 找出使 (T - lambda_i I)^{e_i} 在對應廣義特徵空間上作用為零的最小冪 e_i。則 m_T = prod (x - lambda_i)^{e_i}。

N = [0, 1, 0;
     0, 0, 1;
     0, 0, 0]      # a nilpotent Jordan block, eigenvalue 0

p_N(x) = x^3              (char poly, all eigenvalues 0)

N^1 = [0,1,0; 0,0,1; 0,0,0]  != 0
N^2 = [0,0,1; 0,0,0; 0,0,0]  != 0
N^3 = [0,0,0; 0,0,0; 0,0,0]  == 0   <- first zero power

m_N(x) = x^3.   Index of nilpotency = 3 = degree of m_N.