陳述定理與一個誘人的錯誤證明
凱萊-漢密爾頓定理說：每個算子都零化它自己的特徵多項式。若 p_T(x) = det(xI - T)，則 p_T(T) = 0。一句話：算子滿足它自己的特徵方程。
藉助伴隨矩陣的誠實證明
在元素為 x 的多項式的矩陣環中工作。設 B(x) = adj(xI - A)，即 xI - A 的伴隨矩陣（古典伴隨）。伴隨矩陣的基本恆等式給出 B(x) (xI - A) = det(xI - A) I = p(x) I。現在 B(x) 的元素都是次數至多 n-1 的多項式，故可寫 B(x) = B_{n-1} x^{n-1} + ... + B_1 x + B_0，其中 B_i 為常數矩陣。
- 把 B(x)(xI - A) = p(x) I 兩邊都展開成以矩陣為係數、以 x 為變量的多項式，其中 p(x) = x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_0。
- 比較兩邊每個冪次 x^k 的係數。這給出 n+1 個矩陣方程，把 B_i 與 A 和 c_k 聯繫起來——純代數，不把矩陣代入 x。
- 把第 k 個方程左乘 A^k，再把它們全部相加。B_i 項會望遠鏡式地完全抵消。
- 左邊倖存下來的恰好是 A^n + c_{n-1} A^{n-1} + ... + c_0 I = p(A)；右邊坍縮為 0。於是 p(A) = 0。
A = [1, 2; 3, 4]
p(x) = det(xI - A) = x^2 - (trace)x + det
= x^2 - 5x - 2
Check p(A) = A^2 - 5A - 2I:
A^2 = [ 7, 10; 15, 22]
-5A = [-5,-10;-15,-20]
-2I = [-2, 0; 0, -2]
----------------------------
sum = [ 0, 0; 0, 0] <- p(A) = 0, as promised.收益：從特徵多項式得到逆
由於 p_T 零化 T，極小多項式 m_T 整除 p_T——極小多項式是次數最小的零化多項式，而任何其他零化多項式（包括 p_T）都是它的多項式倍數。這一條整除事實統領第三到五篇的全部內容。
凱萊-漢密爾頓還順手給你一個廉價的逆。寫 p_T(x) = x^n + ... + c_1 x + c_0。由 p_T(T) = 0，把常數項孤立出來：T (T^{n-1} + ... + c_1 I) = -c_0 I。若 c_0 != 0（等價於 0 不是特徵值，故 T 可逆），則 T^{-1} = (-1/c_0)(T^{n-1} + c_{n-1} T^{n-2} + ... + c_1 I)——一個表示成 T 的多項式的逆。