回顧第一卷：特徵多項式
在第一門課程裡你認識了矩陣的特徵多項式 p(x) = det(xI - A)，並把特徵值當作它的根。當時變量 x 是純量：你代入數值來測試哪些數使 xI - A 奇異。這個視角已經把純量變量與固定矩陣混在一起。第二卷的躍遷是讓變量本身成為矩陣。
固定有限維空間 V 上的一個線性算子 T（或一個方陣 A）。T 的冪是有意義的：T^0 = I，T^1 = T，T^2 = T 複合 T，依此類推。一旦能取冪並相加純量倍數，你就能在 T 處求任意多項式的值。
在算子處求多項式的值
給定 f(x) = c_k x^k + ... + c_1 x + c_0，定義 f(T) = c_k T^k + ... + c_1 T + c_0 I。這個代入映射 f -> f(T) 就是在 T 處的求值。它是一個環同態：(f + g)(T) = f(T) + g(T) 且 (fg)(T) = f(T) g(T)。乘法法則成立，是因為單個算子的各次冪彼此可交換。
A = [2, 1; 0, 2] # a 2x2 matrix f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 A^2 = [4, 4; 0, 4] -4A = [-8,-4; 0,-8] +4I = [ 4, 0; 0, 4] ----------------------------- f(A) = A^2 - 4A + 4I = [0, 0; 0, 0] So f(x) = (x-2)^2 ANNIHILATES A: f(A) = 0. Note (x - 2) alone does NOT: A - 2I = [0,1;0,0] != 0.
零化多項式與最小的那個
若 f(T) = 0（零算子），則稱 f 是 T 的零化多項式。上面的矩陣被 (x-2)^2 零化。零化多項式總存在嗎？存在：在 n 維空間上，算子 I, T, T^2, ..., T^{n^2} 都落在 n^2 維的全體算子空間中，故這 n^2 + 1 個算子必線性相關——這個相關關係就是一個次數至多為 n^2 的非零零化多項式。
在所有非零零化多項式中，存在唯一一個次數最小的首一多項式：極小多項式 m_T(x)。它是唯一一個囊括了多項式所能知道的關於 T 的一切的多項式。所有零化多項式的集合構成一個理想——這是第三篇的主題——而 m_T 生成它。我們用 p_T 記特徵多項式 det(xI - T)；第二篇將證明它也零化 T。