譜：當特徵值化為連續統

為何特徵值不夠用

在第一卷中，lambda 是 A 的特徵值，恰當 A - lambda I 不可逆之時——而在有限維中這與擁有非零特徵向量是一回事，因為奇異與不可逆相重合。在無窮維中，這兩個概念分道揚鑣。一個算子可以不可逆，*卻*根本沒有任何特徵向量。

於是我們拓寬定義。有界算子 T 的譜是所有使 (T - lambda I) 沒有有界逆的複數 lambda 之集。特徵值仍在其中，但譜可以包含根本不是特徵值的值。譜——而非特徵值列表——才是正確的無窮維不變量。

落入譜的三種方式

T - lambda I 為何會缺少有界逆？恰有三種失敗模式，它們把譜分裂為點譜、連續譜與剩餘譜。這一分類不過是對可逆性*如何*破裂的誠實記賬：映射是非單射，還是單射卻不滿射；若其值域漏掉整個空間，它至少是否稠密？

點譜：T - lambda I 非單射。於是存在非零 x 使 T x = lambda x——lambda 是真正帶特徵向量的特徵值，正是有限維的情形。
連續譜：T - lambda I 單射且值域稠密，但其逆無界。沒有特徵向量，卻存在「近似特徵向量」，滿足 ||(T - lambda I) x_n|| -> 0 而 ||x_n|| = 1。
剩餘譜：T - lambda I 單射，但其值域甚至不稠密。這是純粹無窮維的可能，並由伴隨繫住：lambda 落在 T 的剩餘譜中，當且僅當 conj(lambda) 是 T* 的特徵值。

The right shift S on ell^2 -- all three flavors on display
   S(x_1, x_2, ...) = (0, x_1, x_2, ...),   ||S|| = 1

spectrum(S) = closed unit disk { |lambda| <= 1 }.

  POINT spectrum:  EMPTY.
     S x = lambda x forces x = 0  (no eigenvectors at all!).

  RESIDUAL spectrum:  { |lambda| < 1 }  (the open disk).
     range of (S - lambda I) is not dense; and indeed
     conj(lambda) IS an eigenvalue of S* = left shift.

  CONTINUOUS spectrum:  { |lambda| = 1 }  (the boundary circle).
     injective, dense range, but unbounded inverse.

Contrast S* (left shift): every |lambda| < 1 is a true
  EIGENVALUE -- eigenvector (1, lambda, lambda^2, ...) in ell^2.
So S and S* have the SAME spectrum, sorted into different bins.

移位算子同時實現了空點譜、剩餘譜圓盤與連續譜邊界圓。

回報：驅動量子世界的譜理論

對緊自伴算子而言，狂野盡數坍縮：由譜定理，其譜不過是它的特徵值再加上極限點 0——連續譜與剩餘譜無一倖存。對一般的自伴算子，譜永遠是*實*的，而正是這單一事實，構成了物理可觀測量取實值的數學緣由。

這正是整個專題的終點。量子力學建立在希爾伯特空間上的自伴算子之上：位置、動量與能量都是無界算子，其譜就是一次測量所能返回的值之集。離散能級是點譜；自由粒子的動量連續統是連續譜。你方才學到的分類，字面上就是可能測量結果的一覽表。