第一同構定理：收官回報

同構：相差重命名即相同

兩個空間之間的可逆線性映射是一個同構——一部把 V 翻譯為 W 的完美詞典，毫無遺失也毫無杜撰。當這樣的映射存在時，我們記 V ≅ W，稱兩空間同構。對有限維空間，判據極簡：V ≅ W 當且僅當 dim V = dim W。維數是唯一的不變量。

現在回憶商構造。給定 V 的子空間 U，商空間 V/U 把任意兩個相差 U 中元素的向量黏合在一起，將 U 坍縮為一點。我們可以把映射壓到商上：若 T 殺死 U，則 V/U 上存在一個良定義的誘導映射。這兩個觀念——同構與商——即將富有成效地相撞。

定理本身

這是整個專題的核心。對任意線性映射 T: V -> W，第一同構定理斷言 V / ker T ≅ im T。用語言說：若先把 T 殺死的一切都坍縮掉，剩下的就是像的完美副本。一旦你不再區分 T 本就無法分辨的輸入，映射立刻變得可逆。

從 T: V -> W 出發。它的核是含糊之處——T 無法分開的不同輸入。
構造 V / ker T，它把任意兩個相差一個核向量的輸入視為相等。
在商上定義 T-bar，令 T-bar(v + ker T) = T(v)；這是良定義的，因為核的含糊已被商去。
T-bar 現在是單射（已無含糊）且滿射到 im T，於是是同構 V / ker T ≅ im T。

而秩-零化度免費掉出。對兩邊取維數：dim(V / ker T) = dim(im T)。由於 dim(V / ker T) = dim V - dim(ker T)，整理即得 dim(ker T) + dim(im T) = dim V——第二篇指南的抽象秩-零化度，如今成了一行推論，而非一條獨立定理。

一個分解實例

T: R^3 -> R^2,  T(x, y, z) = (x + y,  y + z)

Kernel:  x + y = 0 and y + z = 0  ->  (t, -t, t)
  ker T = span( (1, -1, 1) )      dim 1

Image:  T(e1)=(1,0), T(e2)=(1,1), T(e3)=(0,1)
  these span all of R^2            dim 2  (so T is onto)

First isomorphism theorem:
  R^3 / ker T  ≅  im T = R^2
  dim:  3 - 1   =   2            consistent

So collapsing the line span((1,-1,1)) inside R^3
leaves a 2-dim quotient that is a perfect copy of R^2.

對核取商；剩下的是像的精確副本。

矩陣原是一道影子

回望這條弧線。我們以把矩陣貶為映射的座標快照開篇；找到了所有映射的空間，從核與像上讀出單射與滿射，認識了投影與冪零，並看到換基不過是共軛。第一同構定理正是回報所在：它表明核與像是同一條結構真理的兩半，由一個任何選基都無法擾動的同構黏合。

從這裡，道路分叉進入結構定理。同樣的核-像思維，施加於算子的各次冪，便給出廣義特徵子空間、若爾當形與有理標準形——每一個都是選取一組讓算子顯露真形的基的方式。矩陣始終是影子；你如今知道如何閱讀投下它的那個物件。