同一映射，換裝登場：相似與共軛

當基移動時矩陣如何移動

固定算子 T: V -> V 與 V 的兩組基。設 A 為 T 在第一組基下的矩陣，A' 為第二組基下的矩陣，S 為二者之間的換基矩陣。兩矩陣的關係是 A' = S^-1 A S。從右往左讀：把新座標譯為舊座標（S），在舊座標下施加 T（A），再把結果譯回新座標（S^-1）。

當存在某可逆 S 使 A' = S^-1 A S 時，兩個方陣 A 與 A' 互稱相似。相似的全部內涵就是：A 與 A' 相似，恰當它們在不同基下代表同一個算子。相似是「底下是同一個映射」在矩陣層面投下的影子。

A = [2, 0;       S = [1, 1;        S^-1 = [ 1, -1;
     0, 3]            0, 1]                 0,  1]

A' = S^-1 A S
   = [1,-1; 0,1] * [2,0; 0,3] * [1,1; 0,1]
   = [1,-1; 0,1] * [2,2; 0,3]
   = [2, -1;
      0,  3]

A and A' are similar: different numbers, SAME operator.
Shared fingerprints: trace 2+3 = 5, determinant 2*3 = 6.

不變量：在每種偽裝中倖存的東西

運算 A -> S^-1 A S 稱為算子的共軛。由於相似矩陣是同一算子的偽裝，任何在共軛下不變的量都是算子的真正性質。這些就是相似不變量——你已經認識好幾個了。

1. 跡不變：tr(S^-1 A S) = tr(A)，因為跡無視共軛（tr(XY) = tr(YX)）。
2. 行列式不變：det(S^-1 A S) = det(S)^-1 det(A) det(S) = det(A)。
3. 特徵多項式不變，隨之而來的是全部特徵值譜。
4. 秩與零化度不變——共軛無法改變算子壓塌的程度。

共軛即移動視角

有一句值得背誦的口號：共軛是視角的改變，不是物件的改變。S^-1 A S 意為「做 A，但從 S 所設立的座標系來看」。這把尋找最佳矩陣重述為尋找最佳基——能對角化就對角化，當算子無法對角化時，轉而尋找最乾淨的近對角形。

這一視角還解釋了一個強力招式：若子空間 U 在 T 下不變（即 T(U) ⊆ U），則選取適配 U 的基會使矩陣呈塊上三角。左上塊是 T 到 U 的限制，右下塊是商空間 V/U 上的誘導映射。相似讓我們能選擇揭示此種結構的基。