由映射誕生的兩個子空間
給定 T: V -> W，兩個集合組織起一切。核是被 T 送到零的全體：ker T = { v in V : T(v) = 0 }。像是 T 實際產生的全體：im T = { T(v) : v in V }。我們無座標地定義二者，直接來自映射——無需矩陣。
二者都是子空間，這值得親手驗證一次。若 T(u) = 0 且 T(v) = 0，則 T(u + v) = T(u) + T(v) = 0，故 ker T 對加法封閉；縮放同理。像也封閉，因為 T(u) + T(v) = T(u + v) 本身就是一個輸出。在第一卷裡，你把它們認作矩陣的零空間與列空間——同樣的物件，如今從映射上讀出。
單射、滿射，一眼讀出
核用一個乾淨的判據探測單射：T 是單射（一一對應）當且僅當 ker T = {0}。證明很短。若 ker T = {0} 且 T(u) = T(v)，則 T(u - v) = 0，故 u - v 落在核中，迫使 u = v。反之，一個非零的核向量與 0 都映到 0，破壞單射。
像同樣直接地探測滿射：T 是滿射（映上）當且僅當 im T = W。既單又滿的映射是可逆映射——它有雙邊逆。但要當心：在維數不等的空間之間，你可能只有單邊逆，而存在的那一邊恰好告訴你單射/滿射哪一個成立。
- 滿足 L∘T = id_V 的左逆 L 恰好在 T 為單射時存在（它在輸入端撤銷 T）。
- 滿足 T∘R = id_W 的右逆 R 恰好在 T 為滿射時存在（它命中每個輸出）。
- 當兩者都成立時，左逆與右逆重合，T 真正可逆。
秩-零化度，抽象版本
核衡量 T 壓塌了多少；像衡量倖存了多少。V 的總維數在二者之間恰好劈開。這就是抽象形式的秩-零化度：dim(ker T) + dim(im T) = dim V。沒有座標，沒有列化簡——這是關於映射的陳述。
T: R^3 -> R^3, T(x, y, z) = (x + y, x + y, z)
Kernel: need x + y = 0 and z = 0
ker T = { (t, -t, 0) } -> dimension 1
Image: outputs look like (a, a, b)
im T = { (a, a, b) } -> dimension 2
Check rank-nullity:
dim(ker T) + dim(im T) = 1 + 2 = 3 = dim R^3 OK