映射一直都在
在第一卷中，你認識了線性變換 T: V -> W，它是一條尊重加法與縮放的規則：T(au + bv) = aT(u) + bT(v)。隨後你用它的變換矩陣做計算。本專題隱藏的功課是：這兩個物件並不相同。T 活在空間 V 與 W 上，從不提及座標；只有當你為兩邊各選一組基時，矩陣才出現。
為何要費心區分它們？因為同一個映射有無窮多個矩陣，每種選基對應一個，而它們描述的幾何完全相同。若想知道關於 T 的真正事實——它做什麼、它做不到什麼——就應當用無座標的方式表述，讓矩陣成為方便工具，而非定義本身。
矩陣作為座標快照
下面是把無座標映射變成矩陣的配方。固定 V 的一組基 B = (b1, ..., bn) 與 W 的一組基 C = (c1, ..., cm)。要建構 T 相對於這兩組基的矩陣，就把 V 的每個基向量送過 T，並用 C-座標寫出結果。把這些座標列並排堆起來，就是矩陣。
Map T: R^2 -> R^2, T(x, y) = (x + 2y, 3y)
Standard basis B = C = ( (1,0), (0,1) )
Feed each basis vector through T:
T(1,0) = (1, 0) -> column [1; 0]
T(0,1) = (2, 3) -> column [2; 3]
Matrix relative to standard basis:
A = [1, 2;
0, 3]
Now switch V's basis to B' = ( (1,1), (1,-1) ):
T(1, 1) = (3, 3) = 3*(1,1) + 0*(1,-1) -> [3; 0]
T(1,-1) = (-1,-3) = -2*(1,1) + 1*(1,-1) -> [-2; 1]
Same map T, NEW matrix (B' in, standard out):
A' = [ 3, -2;
0, 1]請注意，上面兩個矩陣顯然是不同的數字陣列，卻編碼了平面上完全相同的變換。這正是直接研究映射的全部動機：在每次換基中都倖存的事實才是結構性的，其餘的只是記帳。
所有映射構成一個空間
現在跨一大步。把從 V 到 W 的每一個線性映射都裝進一個袋子。你可以把兩個映射相加——(S + T)(v) = S(v) + T(v)——也可以縮放一個映射——(aT)(v) = a*T(v)。兩種結果仍然是線性的。於是這個集合本身滿足向量空間公理：它就是線性映射空間，記作 L(V, W) 或 Hom(V, W)。
它的維數令人愉快地簡單：dim L(V, W) = (dim V)(dim W)。原因就是矩陣配方——一旦固定基，一個映射恰好是一個 m×n 的自由數字陣列，而 m×n 矩陣空間的維數是 mn。所以抽象的映射空間與熟悉的矩陣空間，逐基地看，大小相同。