蓋爾什戈林圓盤：免費定位
蓋爾什戈林圓盤定理無需求解特徵多項式即可定位每個特徵值。對每一列 i，畫一個以對角元 a_ii 為圓心、半徑 R_i = sum |a_ij|（對 j != i，即非對角的絕對列和）的圓盤。每個特徵值都落在這 n 個圓盤的聯集中。
A = [ 5.0, 0.3, -0.2;
0.1, 8.0, 0.4;
-0.2, 0.1, 1.0 ]
Disc 1: center 5.0, radius |0.3|+|-0.2| = 0.5 -> [4.5, 5.5]
Disc 2: center 8.0, radius |0.1|+|0.4| = 0.5 -> [7.5, 8.5]
Disc 3: center 1.0, radius |-0.2|+|0.1| = 0.3 -> [0.7, 1.3]
The discs are disjoint, so each holds exactly ONE eigenvalue.
Conclusion before any factorization: lambda's are near 5, 8, 1.外爾定理：對稱擾動是溫和的
對對稱（埃爾米特）矩陣，譜定理保證特徵值為實數，且它們的移動不超過擾動本身。外爾定理說：若 A 與 A+E 對稱且特徵值已排序，則對每個 k，|lambda_k(A+E) - lambda_k(A)| <= ||E||_2。特徵值的條件數恰為 1——完美良態。
其同伴是柯西交錯定理：從對稱 A 中刪去一列及對應一欄，得到較小矩陣 B，其特徵值與 A 的交錯，lambda_k(A) >= lambda_k(B) >= lambda_(k+1)(A)。同樣的交錯結構支配著奇異值擾動：|sigma_k(A+E) - sigma_k(A)| <= ||E||_2。
鮑爾-法伊克：非正規性的代價
一般（非對稱）矩陣呢？鮑爾-法伊克定理對可對角化的 A = V D V^-1 給出答案：A+E 的每個特徵值 mu 滿足 min（對 lambda(A)）of |mu - lambda| <= kappa(V) * ||E||_2，其中 kappa(V) = ||V|| * ||V^-1|| 是特徵向量矩陣的條件數。