矩陣的範數：一個變換有多大？

把大小定義為最大拉伸

給定一個向量範數，矩陣 A 的誘導（算子）範數是它的最壞情形拉伸因子：||A|| = max（對 v != 0）of ||A v|| / ||v||。等價地，是所有單位向量 v 上 ||A v|| 的最大值。這是矩陣對任意輸入的最大放大倍數。

三個可手算的誘導範數

對三個 p-範數，誘導矩陣範數有閉式。||A||_1 是最大的絕對列和，||A||_inf 是最大的絕對列和，而 ||A||_2 是來自奇異值分解的最大奇異值 sigma_max（三者中最難手算的）。

A = [ 1, -7;
      4,  2 ]

||A||_1   = max( |1|+|4| , |-7|+|2| )  = max(5, 9) = 9   (column sums)
||A||_inf = max( |1|+|-7| , |4|+|2| )  = max(8, 6) = 8   (row sums)
||A||_2   = sigma_max(A) ~= 7.34                          (largest singular value)

Sanity: A maps the unit-2-ball to an ellipse whose longest
        semi-axis has length sigma_max ~= 7.34.

計算一個 2x2 矩陣的三種誘導範數。

次可乘性：會鏈式傳遞的誤差

每個誘導範數都滿足次可乘性：||A B|| <= ||A|| * ||B||。證明只需一行相容界：||A B v|| <= ||A|| * ||B v|| <= ||A|| * ||B|| * ||v||，再對單位 v 取最大值。這讓我們能界定擾動矩陣的乘積或冪的影響。