函數逐塊作用
若 A = P J P^-1，則對任何合理的函數 f 有 f(A) = P f(J) P^-1，又因 J 分塊對角，f(J) 只是把 f 分別作用到每個塊上。於是整個問題坍縮為：單個約當塊的 f 是什麼？這正是具體化的函數演算。
約當塊 J_k(lambda) 的函數是一個上三角 Toeplitz 矩陣，由 f 在 lambda 處的導數構成：對角線是 f(lambda)，上次對角線是 f'(lambda)，再上一條是 f''(lambda)/2!，向上第 j 條對角線是 f^(j)(lambda)/j!。你只需單個冪零 N = J - lambda*I 與一次泰勒展開——N^k = 0 自動截斷級數。
For a 3x3 block J = lambda*I + N (N the superdiagonal shift, N^3 = 0):
f(J) = f(lambda)*I + f'(lambda)*N + (f''(lambda)/2!)*N^2
= [ f(lambda) f'(lambda) f''(lambda)/2 ;
0 f(lambda) f'(lambda) ;
0 0 f(lambda) ]
The finite Taylor series stops because N^3 = 0 — no convergence worries.冪與矩陣指數
對矩陣冪取 f(x) = x^m：則 f^(j)(lambda)/j! = C(m, j) lambda^(m-j)，於是每塊的元是二項式係數乘以 lambda 的冪——立即以閉式給出 A^m = P J^m P^-1，無需反覆相乘。A^m 的漸近性一目了然：|lambda| < 1 的塊衰減，|lambda| > 1 的塊爆炸，而 |lambda| = 1 的大塊多項式式增長。
對矩陣指數取 f(x) = e^(tx)。每塊給出 e^(t lambda) 乘以一個 t 的多項式三角：e^(tJ_k(lambda)) = e^(t lambda) * (I + tN + (t^2/2!)N^2 + ... + (t^(k-1)/(k-1)!)N^(k-1))。這正是線性常微分方程組 x'(t) = A x(t) 的精確解算子：x(t) = e^(At) x(0)。塊的大小解釋了為何重特徵值會在解中產生 t、t^2、…… 的因子。
ODE x' = A x, A = P J P^-1. Solution: x(t) = P e^(tJ) P^-1 x(0).
For J_2(lambda) = [lambda 1; 0 lambda]:
e^(tJ) = e^(t*lambda) * [1 t;
0 1]
The '1' in the block is exactly what produces the t * e^(t*lambda)
resonant term familiar from repeated-root ODEs.平方根、對數與全局圖景
同一台機器給出矩陣平方根：取 f(x) = sqrt(x) 逐塊作用，對任何可逆塊都成立（在塊大小滿足條件時甚至對奇異塊也成立）。對數、正弦、預解式——任何在特徵值處解析的函數——都遵循同一條導數三角配方。一個標準形，所有矩陣函數。