建構標準形並證明其唯一

組裝 A = P J P^-1

每個複 n×n 矩陣都相似於一個約當標準形 J：存在可逆 P 使 A = P J P^-1。P 的列是一組約當基——把約當鏈逐個特徵值地、從底到頂寫出。把它讀作一次基變換：在 P 的列所張的世界裡，A 就是乾淨的分塊對角 J。

Worked example.  A = [5 1 0 0;
                      0 5 0 0;
                      0 0 5 0;
                      0 0 0 3]    (already nearly there to expose the recipe)

Eigenvalue 5: algebraic mult 3.  N = A - 5I has rank 1 on that block group
   -> d_1 = 3 - 1 = 2 blocks ; ranks give partition (2, 1)
Eigenvalue 3: a 1-by-1 block.

      J = [5 1 0 0;
           0 5 0 0;
           0 0 5 0;
           0 0 0 3]

Jordan basis (columns of P), chains bottom-to-top:
   for 5:  chain {u1, u2} with (A-5I)u2 = u1, (A-5I)u1 = 0 ; lone eigvec w
   for 3:  eigenvector z
   P = [ u1 | u2 | w | z ]    and    A = P J P^-1

lambda=5 的塊大小分拆 (2,1) 與 lambda=3 的單塊組裝成 J；各鏈填入 P 的列。

完整步驟配方

有了前幾篇指南，這套構造便是機械的。特徵值來自特徵多項式，塊的大小來自秩數據，基則來自各鏈。下面是你對任何複矩陣都可運行的端到端流程。

由特徵多項式求出特徵值；每個特徵值貢獻一個廣義特徵空間，成為一組約當塊。
對每個 lambda，計算 (A - lambda I) 各冪的秩，應用秩躍公式得到塊大小分拆。
為每個塊建構一條約當鏈（從頂端廣義特徵向量降到特徵向量）；把所有鏈收集為 P 的列。
把 J 寫成分塊對角，每條鏈一個 J_k(lambda)，順序與 P 一致。驗證 A P = P J。

為何它本質上唯一

約當基 P 遠非唯一——你可以縮放並重組各鏈。但 J 本身在塊的順序下是唯一的。原因正是上一指南：特徵值與秩躍分拆是相似不變量，它們完全確定塊的重集。這就是約當形的唯一性。