約當鏈與一個塊的解剖

約當塊長什麼樣

約當塊 J_k(lambda) 是一個 k×k 矩陣，對角線上是 lambda，上次對角線（緊貼對角線上方的位置）上是 1，其餘處處為 0。1×1 的塊就是 [lambda]——一個普通特徵值。塊越大，基向量之間的「耦合」越強。

J_1(5) = [5]

J_3(5) = [5 1 0;
          0 5 1;
          0 0 5]

Write J_3(5) = 5*I + N  where  N = [0 1 0;
                                   0 0 1;
                                   0 0 0]
N is nilpotent: N shifts basis vectors down the chain,
N e3 = e2,  N e2 = e1,  N e1 = 0,  and N^3 = 0.

建構一條約當鏈

長度為 k 的約當鏈是一列廣義特徵向量 v_k, v_(k-1), ..., v_1，其中每一個在 (A - lambda I) 下映到前一個：(A - lambda I)v_j = v_(j-1)，而最底端的 v_1 是真正的特徵向量，滿足 (A - lambda I)v_1 = 0。最頂端的向量 v_k（秩最高者）透過反覆作用 (A - lambda I) 生成整條鏈。

1. 選取 ker(A - lambda I)^k 中的頂向量 v_k，使其不在 ker(A - lambda I)^(k-1) 中——一個真正的秩 k 廣義特徵向量。
2. 令 v_(k-1) = (A - lambda I)v_k，再令 v_(k-2) = (A - lambda I)v_(k-1)，持續作用該映射。
3. 鏈在 v_1 = (A - lambda I)v_2 處停止，它是一個特徵向量。這 k 個向量 v_1, ..., v_k 自動線性無關。
4. 將鏈從底到頂作為列排列。在這組基上，算子的作用恰為約當塊 J_k(lambda)。

冪零骨架

減去 lambda 後，餘下的 N = A - lambda I 限制在一個廣義特徵空間上，它是冪零的：某個冪 N^m = 0。單個特徵值的約當塊全部理論，與冪零算子的約當形完全相同。最長鏈的長度等於冪零指數——使 N^m = 0 的最小 m。

把所有特徵值的所有鏈匯集成一組有序基，就得到約當基。在該基下矩陣是分塊對角的，每條鏈對應一個約當塊——這個分塊對角矩陣就是我們將在下一指南中完整組裝的約當標準形。