第一卷遺留的缺口
在第一卷中你學到：一個算子可對角化當且僅當它有特徵基——一組完整的特徵向量基。這恰好發生在：對每個特徵值，幾何重數（特徵空間的維數）等於代數重數（它作為特徵多項式根的重數）。你遇到的多數矩陣都很乖。
但考慮 A = [2, 1; 0, 2]。它唯一的特徵值是 lambda = 2，代數重數為 2，然而 (A - 2I) = [0, 1; 0, 0] 的零空間是一維的，由 e1 張成。只有一個特徵向量方向，而非兩個。不存在特徵基；A 是虧損的。第一卷的機器在此熄火。
擴大核：(A - lambda I) 的冪
特徵向量滿足 (A - lambda I)v = 0。秩為 k 的廣義特徵向量滿足較弱的條件 (A - lambda I)^k v = 0 而 (A - lambda I)^(k-1) v != 0。特徵向量恰是秩 1 的情形。固定 lambda 下它們全體構成廣義特徵空間。
這些核嵌套且增長：ker(A - lambda I) 包含於 ker(A - lambda I)^2 包含於 ker(A - lambda I)^3，依此類推。每一次取冪只能擴大零空間，直到穩定。這條零空間鏈在某個冪處停止增長；當它停止時，穩定的核就是整個廣義特徵空間——其維數等於代數重數。這正是填補第一卷缺口的關鍵承諾。
A = [2, 1;
0, 2] lambda = 2
(A - 2I) = [0, 1; 0, 0] ker has dim 1 -> { e1 }
(A - 2I)^2 = [0, 0; 0, 0] ker has dim 2 -> all of R^2
rank-1 (true eigenvector): v1 = e1, (A-2I) e1 = 0
rank-2 (generalized) : v2 = e2, (A-2I) e2 = e1 != 0
(A-2I)^2 e2 = 0為何在 C 上總是奏效
在複數域上特徵多項式總能分解為線性因子，故代數重數之和為 n。對所有不同特徵值的廣義特徵空間求和，給出整個空間 C^n 的直和分解。這其實是偽裝的準素分解：即使不存在特徵基，廣義特徵基也總是存在。