算子的伴隨

通過配對定義 T*

給定 V 上的線性算子 T，固定一個向量 w，考慮 v -> <Tv, w>。這是關於 v 的線性泛函，故里斯產生唯一向量——記為 T*w。伴隨算子 T* 由唯一恆等式 <Tv, w> = <v, T*w>（對一切 v, w）定義。它正是讓你把 T 從內積的一側滑到另一側的算子。

計算它：共軛轉置

在標準正交基下，抽象定義變得具體：T* 的矩陣是 T 的矩陣的共軛轉置，記作 A* = conj(A)^T（也寫作 A^H）。在 R 上它就是轉置 A^T；在 C 上則要對每個元素既轉置又共軛。這個共軛，正是第一篇指南中埃爾米特內積向我們索取的代價。

A = [ 1+i,   2 ]
    [   3,  4-i ]

Conjugate transpose A* = conj(A)^T:

step 1  transpose:        [ 1+i,   3  ]
                          [   2,  4-i ]

step 2  conjugate each:   A* = [ 1-i,   3  ]
                               [   2,  4+i ]

Sanity check the defining identity on e1, e2 (standard inner product):
  <A e1, e2> = (A)_{21} = 3        (entry row 2, col 1)
  <e1, A* e2> = conj( (A*)_{12} ) = conj(3) = 3   -> they match.

在 C 上伴隨是轉置加共軛；在 R 上則是普通轉置。

你必須內化的代數

伴隨恆等式把它變成一套俐落的演算。帶星映射顛倒乘積順序、對純量共軛線性，同時又是一個對合：

(S + T)*  = S* + T*
(c T)*    = conj(c) T*        (conjugation appears over C)
(S T)*    = T* S*             (order reverses, like the transpose)
(T*)*     = T                 (an involution: starring twice undoes itself)
(T^-1)*   = (T*)^-1           (when T is invertible)

伴隨始終遵守的五條恆等式。

一顆結構性寶石把伴隨與上一篇的幾何相連：ker(T*) = (im T)-perp，伴隨的核是像的正交補。這正是第一卷「列空間與零空間正交」的概念升級——四個基本子空間，如今以算子對算子的方式陳述，無需選取任何座標。