主不等式
公理最重要的單一推論就是柯西-施瓦茨不等式：對一切 u, v，|<u, v>| <= ||u|| ||v||，等號當且僅當 u 與 v 平行時成立。沒有它，「夾角」一詞在抽象空間中將毫無意義，因為我們無法保證 <u, v> / (||u|| ||v||) 落在 [-1, 1] 內。
其證明是一行小技巧，值得隨身攜帶：取使 ||u - t v|| 最小的純量 t，再展開 0 <= <u - t v, u - t v> 並讀出該界。使之最小的 t = <u, v> / <v, v>，正是 u 在 v 上最佳投影的係數——幾何與代數在同一步中相遇。
由範數復原內積
範數是否記得內積？記得——而且存在一個判定「某範數是否來自內積」的乾淨檢驗：平行四邊形法則，||u + v||^2 + ||u - v||^2 = 2 ||u||^2 + 2 ||v||^2。平行四邊形兩對角線平方之和等於各邊平方之和。一個範數當且僅當它來自某內積時滿足此式。
當該法則成立時，極化恆等式可顯式重建內積。在 R 上：<u, v> = ( ||u + v||^2 - ||u - v||^2 ) / 4。在 C 上會多出一個虛部以復原相位。於是範數與內積攜帶完全相同的資訊——知道所有長度等價於知道所有夾角。
Is the max-norm ||x||_inf = max(|x1|, |x2|) from an inner product? Test the parallelogram law on u = (1, 0), v = (0, 1): ||u + v||_inf = max(1,1) = 1 -> squared 1 ||u - v||_inf = max(1,1) = 1 -> squared 1 LHS = 1 + 1 = 2 RHS = 2*1 + 2*1 = 4 2 != 4 -> law FAILS -> no inner product induces the max-norm. Now the Euclidean norm on the same u, v: LHS = (sqrt2)^2 + (sqrt2)^2 = 4 = RHS -> law holds.
最佳逼近與貝塞爾
把一個向量在標準正交集 e_1, ..., e_k 上展開。係數 c_i = <v, e_i> 是它的傅立葉係數，而貝塞爾不等式斷言 sum |c_i|^2 <= ||v||^2。從幾何上看，向 e_i 的張成空間投影只能縮短 v；差額正是到該子空間的距離平方。
當標準正交集是完整的基時，貝塞爾不等式變為等式——帕塞瓦爾恆等式，||v||^2 = sum |c_i|^2。這是傅立葉分析中能量守恆的抽象內核：一個訊號的總能量等於其各頻率分量能量之和。