準素分解與 Jordan-Chevalley

把碎片黏成整個空間

準素分解定理是上一篇的收穫。在特徵多項式完全分解的域上（在 C 上總成立），空間分裂為 V = G(lambda_1, T) (+) G(lambda_2, T) (+) …… (+) G(lambda_r, T)，每個相異特徵值對應一個廣義特徵空間，每個都是 T-不變的。

這正是本軌道一開始就想要的不變直和分解：V 被拆成若干不變塊，而在每塊上 T - lambda_i*I 是冪零的。第 2 篇那個棘手的障礙——補的缺失——被繞開了，因為這些特定的補總是存在。這些塊或許不是特徵直線，但它們是貨真價實的不變直和項。

A = [ 3  1  0  0 ;
      0  3  0  0 ;
      0  0  3  0 ;
      0  0  0  7 ]      eigenvalues: 3 (mult 3),  7 (mult 1)

G(3, A) = span{ e1, e2, e3 }   (dim 3 = algebraic mult of 3)
G(7, A) = span{ e4 }           (dim 1 = algebraic mult of 7)

Primary decomposition:  R^4 = G(3,A) (+) G(7,A).
On G(3,A):  A - 3I is nilpotent.
On G(7,A):  A - 7I is zero (e4 is a genuine eigenvector).

每個特徵值貢獻一個廣義特徵空間，其維數與重數相符。

分裂算子：半單加冪零

空間的分解誘導出算子的分解。定義 S 在每塊上作用為乘以 lambda_i，令 N = T - S。那麼 S 是半單算子（在 C 上可對角化），N 是冪零的，而關鍵在於 S 與 N 可交換。這就是 Jordan-Chevalley 分解：T = S + N，且唯一。

執行準素分解，找出每個 G(lambda_i, T) 及其特徵值 lambda_i。
在塊 G(lambda_i, T) 上定義 S = lambda_i * I；這就是半單部分。
令 N = T - S；在每塊上它是 T - lambda_i*I，在那裡是冪零的。
驗證 S N = N S——這一可交換性使分裂唯一且有用。

它帶給你什麼

對角化如今顯露為 N = 0 的特殊情形——算子純粹是半單的。在 C 上其餘每個算子都是半單加一個真正的冪零，而這條冪零尾巴正是我們在第 2 篇裡初遇的剪切障礙。