廣義特徵向量與 Fitting 分解

放寬特徵向量方程

特徵向量滿足 (T - lambda*I)v = 0。廣義特徵向量只需對某個正冪次 k 滿足 (T - lambda*I)^k v = 0。也就是說，它不是被 (T - lambda*I) 一擊消滅，而是經過幾次才消滅。對固定 lambda，所有這樣的 v 構成廣義特徵空間，記作 G(lambda, T)。

T = [ 5  1  0 ;
      0  5  0 ;
      0  0  5 ]   (only eigenvalue lambda = 5)

N = T - 5*I = [ 0  1  0 ;
               0  0  0 ;
               0  0  0 ]

  N e1 = 0          -> e1 is an ordinary eigenvector
  N e3 = 0          -> e3 is an ordinary eigenvector
  N e2 = e1 (not 0) -> e2 is NOT an eigenvector ...
  N^2 e2 = N e1 = 0 -> ... but e2 IS a generalized eigenvector (k=2)

So G(5, T) = span{e1, e2, e3} = all of R^3,
even though there are only 2 independent ordinary eigenvectors.

Fitting：分裂為核部分與像部分

取任意單個算子 N（想象 N = T - lambda*I）。兩條鏈 ker N ⊆ ker N^2 ⊆ …… 與 im N ⊇ im N^2 ⊇ …… 都在同一冪次 m 處穩定。於是 Fitting 分解斷言 V = ker N^m (+) im N^m，且兩個直和項都是 N-不變的。

在第一個直和項 ker N^m 上，算子 N 是冪零的（某個冪為零）。在第二個直和項 im N^m 上，算子 N 是可逆的。因此 Fitting 乾淨地把 T 表現得像 lambda 加冪零移位的那部分，與 T - lambda*I 無害的那部分分開。這正是下一篇更大定理的單特徵值內核。

注意與第 2 篇的聯繫：廣義特徵空間 G(lambda, T) 恰好就是 ker N^m，即 N = T - lambda*I 的 Fitting 核項。它是 T - lambda*I 在其上冪零的最大不變子空間，並且總是包含由 lambda 的特徵向量生成的循環子空間。

為什麼這對標準形重要

廣義特徵空間絕不會像普通特徵空間那樣不夠用：G(lambda, T) 的維數總等於 lambda 的代數重數。正是這一保證使得整個空間可以由廣義特徵空間重建——這是下一篇的主題——也正是為什麼當對角形不存在時 Jordan 形依然存在。