循環子空間與補的失效

從一個種子向量生長子空間

取任意非零向量 v，觀察它在 T 下的軌道：v, Tv, T^2 v, T^3 v, ……這條軌道的張成就是由 v 生成的循環子空間。由其構造可知它是不變的——對任一軌道元素施加 T 只會得到下一個，而它已在張成中。它是包含 v 的最小不變子空間。

在有限維空間裡，軌道不可能永遠增長。在某一步，T^k v 成為先前向量的線性組合。第一個這樣的 k 就是循環子空間的維數，而它所產生的關係式正是算子在 v 上的極小多項式。

T = [ 2  1 ;
      0  2 ]   acting on R^2,  seed v = e1 = (1,0)

  T v   = (2,0) = 2*v          -> already a multiple of v
So span{v} alone is invariant: a 1-dim cyclic subspace.

Try instead the seed w = e2 = (0,1):
  w       = (0,1)
  T w     = (1,2)             -> NOT a multiple of w
  T^2 w   = (4,4) = 4*w + ... -> a combination of w and T w
Cyclic subspace of w = span{ w, Tw } = all of R^2 (dimension 2).

無法分裂的剪切

回到剪切 T = [2, 1; 0, 2]。它唯一的特徵值是 2，而在縮放意義下唯一的特徵向量是 e1。因此唯一的 1 維不變子空間是直線 U = span{e1}。現在問：是否存在不變補——另一條不變直線 W，使得 R^2 = U (+) W？

1. 任何不變直線 W 必由一個特徵向量張成（1 維不變子空間就是特徵直線）。
2. 但唯一的特徵直線就是 U 本身，因此不存在第二條不變直線。
3. 因此 U 沒有不變補：R^2 無法分裂為兩條 T-不變直線。

這一障礙在告訴我們什麼

對角化希望 V 是若干特徵直線的直和，每條都帶有不變補。剪切表明，即便不變直線存在，補也可能消失。我們有兩條出路：把「好向量」的標準從嚴格特徵向量放寬，或者退而求其次接受三角而非對角。下一篇走第一條路；最後一篇走第二條路。